2024년 5급 공채 응용역학 1번 (가상변위의 법칙의 응용)

1.개요

그동안 축부재 관련 포스팅에서는 비교적 단순한 구조물을 대상으로, Kinematic 관계를 설정하고 이를 바탕으로 가상변위의 법칙을 적용하는 방법을 다뤄왔습니다.

이번 포스팅에서는 한 단계 더 나아가, 강체로 연결된 구조물에 온도 변화까지 결합된 보다 복잡한 형태의 문제에 대해 가상변위의 법칙을 어떻게 적용할 수 있는지를 살펴보고자 합니다. 한눈에 보기에도 다소 까다로운 문제이기 때문에, 많은 수험생들은 응력법과 가상일의 법칙을 우선적으로 떠올릴 가능성이 큽니다. 이는 일반적으로 Kinematic 관계 설정 자체를 어려워하기 때문입니다.

하지만 응용역학 및 구조역학에서는 응력법뿐만 아니라 변위법의 관점에서 구조물을 해석하는 능력 또한 매우 중요합니다. 두 접근을 함께 비교하며 이해하면, 구조물을 보다 입체적으로 바라보는 데 큰 도움이 됩니다.

변위법에 의한 해석은 먼저 구조물의 자유도(Degree of Freedom)를 파악하는 것에서 출발합니다. 본 문제에서 부재 1과 2는 강체의 거동에 의해 변위가 구속되며, 해당 강체는 C점의 힌지로 인해 회전에 대한 자유도만을 가집니다. 따라서 전체 구조물은 1자유도 시스템으로 단순화할 수 있으며, 이러한 특성을 활용하면 변위법을 통한 해석이 매우 간결하고 강력하게 전개될 수 있습니다.

 

2.문제풀이 (변위법)

(1) Kinematic 관계 구축

F가 수직으로 δ만큼 상향으로 변위가 생기게 되면

부재 1 (부재 AB)는 2δ/7만큼 수축 ,

부재2 (부재 ED)는 6δ/7만큼 인장하게 됩니다.

[참고] Kinematic 해법을 산정하는 별도 방식

참고로 Kinematic 관계 설정을 어려워하는 분들께 설명할 때 활용하는 하나의 테크닉이 있습니다.

바로 가상변위의 법칙에서 도출되는 결과는 결국 힘의 평형방정식이라는 점입니다.

따라서 이 평형방정식을 출발점으로 삼으면, Kinematic 관계를 역으로 추적하여 구축할 수 있습니다.

이러한 접근은 Matrix 변위법에서 다소 낯설게 느껴질 수 있는 A 매트릭스 구성 방식과도 자연스럽게 연결됩니다.

이를 보여드리자면 아래 그림과 같습니다.

부재1과 부재2에 대한 부재력 앞에 붙은 상수인 -2/7와 6/7이 위에서 언급한 부재의 변위값과 일치하는 것을 볼 수 있습니다.
(참고로 저는 개인적으로 A 매트릭스를 구성하는 방식에 대해서는 크게 공감하지 못하는 편입니다.
가상변위의 법칙과 연결되는 흐름을 고려하면, Kinematic 관계를 직접 설정하여 답안을 전개하는 것이 더 자연스럽다고 생각합니다. 또한 Kinematic 관계를 위해 평형방정식을 별도로 구축하는 접근보다는, 차라리 평형방정식을 세운 김에 응력법인 최소일의 원리를 활용하여 풀이를 이어가는 것이 보다 일관된 해석이라고 보는 입장입니다.)

(2) 가상변위의 법칙 적용

가상변위의 법칙 적용은 매우 단순합니다. 외부 가상일은 내부의 가상일과 같다라는 간단한 방식으로 해석됩니다.

① 외부일

외부일은 단순합니다. 제가 변위를 위로 잡았지만 하중은 아래방향이므로 전체 외부 가상일은 음의 값을 갖게 됩니다.

② 내부일

강성도에 순수 힘에 의한 변위를 곱하게 되면 부재력이 산정됩니다. 

해당 부재력에 변위를 곱해주면 내부일이 됩니다.

따라서 총 내부일은 다음과 같습니다.

③ 외부일 = 내부일

하중은 아래로 내려갔지만 변위가 연직 위로 생긴 이유는 다소 직관적으로 받아들이기 힘든 결과이지만

부재 2의 온도에 의한 변위가 부재 1의 온도에 의한 변위의 약 1.46배를 상회하면서 발생한 것으로 이해하시면 됩니다.

④ 부재내 응력 산정

위에서 산정한 δ를 통해 부재력을 산정할 수 있고 이를 통해 단면적으로 나누어 응력도 산정 가능하게 됩니다.

 

따라서 부재1은 55.5268 MPa의 압응력이 작용하고

부재2는 20.9211의 압축응력이 작용합니다.

⑤ 부재의 길이방향 변위의 크기와 방향 산정

위에서 산정한 δ를 통해 Kinematic 관계를 활용해 부재의 변위는 매우 쉽게 산정할 수 있습니다.

따라서 부재 1의 경우 약 1.882×10^(-2) mm 만큼 (-) 방향으로 이동하며

부재 2의 경우 약 5.645 ×10^(-2) mm 만큼 (+) 방향으로 이동하게 됩니다.

3.문제풀이 (응력법)

응력법 풀이과정을 공유하겠습니다.

대부분의 많은 분들이 해당 방식으로 풀이하는 것으로 알고 있습니다.

저는 검산용으로 활용해보았습니다.

겉보기에는 간단해 보이지만 지속적으로 나오는 결과값들을 Store 하면서 끌어가나는 계산기 Skill이 필요합니다.

익숙해지면 기계적이고 빨라지는 장점이 있지만 직관성은 떨어져서 자신만의 검산툴이 없으면 안되는 풀이입니다.

예컨대 산정된 부재력을 바탕으로 활용하였던 평형방정식에 재 대입하여 검산하는 것은 금물입니다.

이미 solve와 store로 끌고가서 나온 결과물이기 때문에 당연히 기존에 활용한 평형방정식을 만족할 수 밖에 없습니다.

따라서 다른 방식의 검산이 필요하게 됩니다.

이로서 응력법과 변위법 결과값이 일치하는 것을 확인하였습니다.

4.마무리하며

역학에서는 자신만의 검산 체계를 갖추는 것이 무엇보다 중요합니다. 구조기술사나 5급 기술고시 모두 채점 방식이 이분법적인 성격이 강하기 때문에, 정답에 도달하면 높은 점수를 받지만 그렇지 못하면 점수 확보가 쉽지 않습니다.

대부분의 수험생들은 익숙한 응력법으로 먼저 접근하는 경향이 있습니다. 다만 이러한 분들께는 변위법이 단순한 또 하나의 풀이 방법이 아니라, 단계별로 해석 과정을 검증할 수 있는 매우 유용한 도구가 될 수 있습니다. 따라서 변위법 풀이를 병행하여 꾸준히 학습해보시길 권해드립니다.

실제로 여러 구조기술사 학원에서도 응력법과 변위법을 함께 활용하여 풀이하고 검산하는 것을 권장한다고 합니다. 다만 변위법을 접근하는 방식에 있어, Kinematic 관계를 평형방정식으로 역산하는 방식(A 매트릭스 구성)에만 의존하는 경우가 많은데, 이러한 접근은 개념적 이해 없이 형식만 남을 위험이 있습니다. 최소일의 원리와의 연결 또한 단순히 형식적으로 받아들이기보다는, 그 유도 과정과 의미를 함께 이해하는 것이 중요합니다.

변위법의 핵심은 평형방정식 자체가 아니라, Kinematic 관계를 기반으로 한 가상변위의 법칙에 대한 해석에 있습니다. 이를 제대로 이해하지 못한 채 공식이나 절차만 암기하게 되면, 종속변위나 지점침하와 같은 조건이 추가되는 순간 쉽게 흔들릴 수밖에 없습니다.

아쉽게도 국내 수험 환경에서는 특정 교재나 서브노트 중심의 학습이 이루어지다 보니, 이러한 접근 방식이 하나의 정답처럼 받아들여지는 경우가 많습니다. 반면 해외의 구조역학 교재들은 Kinematic 관계와 가상변위의 법칙을 기반으로 한 해석을 중심에 두고 전개되는 경우가 많습니다. 이러한 차이는 자연스럽게 구조물을 바라보는 유학파 교수님들과 수험생들의 시선의 차이로 이어집니다.

제 블로그를 통해 이러한 시선의 간극을 조금씩 좁혀가며, 출제자가 의도한 바를 정확히 읽어내고 그에 맞는 답안을 작성하는 데 한 걸음 더 가까워지시길 바랍니다.