2009년 5급 공채 구조역학 5번 풀이
1.개요
2009년도 5급 공채 구조역학 5번 문항에 대하여 조금 더 효율적인 풀이를 원하는 구독자분의 질의가 있어 해당 문항을 다시 정리해보게 되었습니다. 사실 위 문제는 단순히 “어떤 방법으로 풀 수 있는가”보다 “어떤 방법이 더 효율적인가”를 판단하는 과정 자체가 중요한 문제입니다. 어떤 수험생들이 변위법으로 접근하려고 하지만, 이 문제의 경우에는 오히려 응력법적 접근이 훨씬 효율적입니다. 그 이유는 자유도(DOF)의 개수가 많기 때문입니다. 하중 대칭과 구조물 대칭을 활용하여 반쪽 해석을 수행하고, 모멘트가 0이 되는 지점의 local 자유도를 제거하여 강성도를 수정한다고 하더라도 local 자유도는 8개, Global 자유도는 7개 수준이 됩니다. 결국 최소 7개의 미지수를 끌고 가야 하는 형태가 되며, 이는 상당한 부담으로 작용합니다. 반면 해당 구조물은 외적 정정이면서 내적 1차 부정정 구조물이기 때문에 잉여력 하나만 미지수로 두고 접근하는 것이 훨씬 간결해집니다. 즉, 문제를 처음 보았을 때 “이 구조물은 자유도 관점에서 접근하는 것이 유리한가, 아니면 잉여력 관점이 유리한가”를 빠르게 판단하는 것이 핵심입니다.
물론 강력한 공학용 계산기를 활용하여 자유도 개수와 상관없이 자신이 익숙한 방법으로 밀어붙이는 수험생들도 존재합니다. 하지만 기술사 시험이나 5급 공채 시험처럼 긴장 상태에서 손계산과 계산기 입력이 반복되는 시험에서는 기본적으로 계산기에 들어가는 input 양이 적을수록 계산 실수 가능성이 낮아지고 시간 소모 역시 줄어듭니다. 따라서 항상 문제를 볼 때는 “출제자가 어떤 장치를 숨겨두었는가?”를 먼저 생각하는 습관이 중요합니다. 이 문제에서 출제자가 준 대표적인 장치는 바로 하중의 대칭성, 구조물의 대칭성, 그리고 외적 정정 구조라는 사실입니다. 이러한 조건들이 보이는 순간 구조물을 변위 중심으로 복잡하게 해석하기보다는, 내력 하나를 미지수로 두고 접근하는 응력법적 사고가 훨씬 효율적이라는 사실을 자연스럽게 떠올릴 수 있어야 합니다. 결국 좋은 문제풀이란 단순히 계산을 끝까지 수행하는 것이 아니라, 구조물의 특징을 읽어내고 가장 적은 자유도와 가장 적은 미지수로 문제를 단순화하는 과정이라 할 수 있습니다.
2.문제풀이
(1) 외적 평형의 활용
보의 자유물체도를 먼저 살펴보면, 외부 반력은 외적 정정 조건에 의해 모두 결정됩니다. 따라서 이 문제에서 실제로 분석해야 하는 것은 외부 반력이 아니라 구조물 내부에서 발생하는 내력입니다.
힘의 평형을 만족하기 위해서는 트러스 부재들이 보에 전달하는 수직 방향 내력의 합이 0이 되어야 합니다. 따라서 해당 내력의 크기를 F라 두고, 좌측에는 연직하향의 힘 , 우측에는 연직상향의 힘 가 작용한다고 설정할 수 있습니다. 즉 두 힘의 크기는 같고 방향은 서로 반대가 됩니다. 이렇게 설정하면 구조물 전체의 평형조건을 만족하면서도, 나머지 트러스 내력들을 모두 하나의 미지수 F로 간단하게 표현할 수 있습니다.
내력이 F로 인해 표현이 완료되었으므로 추가 평형방정식은 필요하지 않습니다.
(2) 최소일의 원리
최소일의 원리(Principle of Least Work)는 구조물이 평형상태에 도달할 때 실제로 발생하는 내력은 전체 변형에너지가 최소가 되는 방향으로 결정된다는 개념입니다. 특히 부정정 구조물에서는 평형방정식만으로는 미지수를 모두 구할 수 없기 때문에, 잉여력을 미지수로 두고 구조물의 전체 변형에너지를 표현한 뒤 그 값이 최소가 되는 조건을 이용하여 해를 구하게 됩니다.
① 변형에너지의 산정
구간별 모멘트를 산정하게 되면 다음과 같습니다.
② 최소일의 법칙 적용
참고로 최소일 법칙을 적용시 편미분하여 전개된 식은 미지력으로 잡은 부재에 대한 변위일치 식과 동일하게 됩니다.
(3) 최대 휨모멘트 산정
전단력도을 고려하였을때, 최대 휨 모멘트는 M1, M2, M3 가 작용하는 부재 중간지점이 에서 발생하지 않고
전단력이 작용하는 트러스와 연결지점에 발생하거나 고정단 롤러지점에서 발생한다는 점을 알 수 있습니다.
이때의 값을 비교해보면 다음과 같습니다.
따라서 최대 휨모멘트는 구조물의 양쪽 끝에 가장 가까운 트러스 부재와 연결되는 지점에서 발생하며
그 크기는 252,000 kgf·m 가 됩니다.
(4) 최대 처짐 산정
최대 처짐은 구간내에 처짐의 극값을 구하기 위해 미분하여 0이되는 지점을 찾아야 하는데 구조물에서 그 답을 바로 알 수 있습니다.
고정단 롤러지점에서는 회전각이 0이 되기 때문에 자연스레 최대처짐 지점이 됩니다.
이에 대한 공액보법을 적용하면 다음과 같이 처짐을 산정할 수 있습니다.
따라서 최대 처짐은 구조물의 가운데에서 0.105504m 만큼 발생하게 됩니다.
3. 마무리하며
이 문제는 사실상 공학용 계산기 없이 손계산으로 해결하기는 매우 어렵습니다. 따라서 7·9급 시험을 준비하시는 수험생분들께서 이러한 문제를 억지로 손계산 방식으로 접근하려고 하실 필요는 전혀 없습니다. 공학용 계산기 사용이 허용되는 5급 공채 시험이기 때문에 출제될 수 있었던 유형이라 보는 것이 맞습니다.
저는 대다수의 수험생들이 이 문제를 어떻게 접근하는지 어느 정도 예상할 수 있습니다. 보통은 외적 정정이라는 구조적 특징을 활용하여 미지수를 줄이려 하기보다는, 일단 가능한 모든 평형방정식을 세우고 모든 미지수를 끝까지 끌고 가려 합니다. 이후에는 공학용 계산기의 solve 기능이 알아서 하나의 미지수 형태로 정리해주기를 기대하게 됩니다. 하지만 이렇게 input 값이 많아질수록 계산기에서 사소한 버튼 입력 실수가 발생할 가능성이 커집니다. 5급 공채에서 고득점을 확보할 수 있는 과목은 측량도, 토질도 아니라 결국 역학입니다. 역학에서 계산기 입력 실수 하나로 다시 1년을 보내게 된다면 그것은 단순한 운의 문제가 아니라 문제를 단순화하지 못한 실력의 문제라고 생각합니다. 따라서 항상 계산기에 들어가는 입력량 자체를 줄이는 방향으로 사고해야 하며, 이를 통해 실수 가능성을 원천적으로 차단하려는 노력이 필요합니다.
또한 어렵게 모멘트를 모두 산정해놓고, 처짐을 구하기 위해 다시 카스틸리아노 정리나 가상하중법으로 돌아가 구조물 중앙에 가상하중을 두고 또다시 평형방정식을 세우는 방식으로 접근하는 경우도 상당히 많습니다. 결국 에너지법과 최소일을 무지성으로 중복 적용하는 형태가 되는 것입니다. 혹은 세 개의 모멘트 방정식을 만들었으니 이를 다시 이중적분하여 적분상수 6개를 만든 뒤, 경계조건을 입력하여 solve 기능에 의존하려는 접근도 자주 보입니다. 하지만 이는 대부분 불필요한 조작에 가깝습니다. 휨부재에서 이미 모멘트식을 세웠음에도 이를 통해 처짐을 즉각적으로 연결하지 못하고 다시 멀리 돌아간다면, 계산기 활용 능력은 뛰어날지 몰라도 역학적 직관과 구조적 이해는 아직 부족한 상태라고 볼 수 있습니다. 결국 중요한 것은 복잡한 계산을 끝까지 수행하는 능력이 아니라, 구조물의 거동을 이해하고 가장 짧고 간결한 흐름으로 문제를 정리하는 사고력입니다.