2023년 5급 구조역학 3-1번 (유연도 매트릭스의 해법)

1.개요

이번 포스팅에서는 2023년 5급 공채 구조역학 제3문 소문제 1번을 통해 부정정 트러스를 유연도 매트릭스(Flexibility Matrix)로 해석하는 방법​을 소개하고자 합니다. 이전에도 2022년 5급 공채 구조역학 2번 문제를 다루면서 유연도 매트릭스를 활용한 풀이를 소개한 적이 있습니다. 유연도 매트릭스는 행렬의 형태 때문에 처음 접하면 다소 복잡한 별개의 해석법처럼 보일 수 있지만, 그 원리를 따라가 보면 결국 가상하중의 법칙(Virtual Force Method)​을 행렬의 형태로 정리한 것에 가깝습니다. 부정정력을 하나씩 단위하중으로 작용시켜 각 부재에 발생하는 부재력을 구하고, 이를 통해 유연도계수 (fij)를 구성하여 변위일치조건을 만족시키는 것이 핵심입니다.

실제 수험 풀이에서는 변위일치법을 적용하면서도 이러한 원리를 충분히 이해하지 않은 채, 각 부재력을 미지수의 함수로 표현한 다음 변형에너지를 구하기 위해 부재력을 제곱하고 이를 공학용 계산기에 입력하여 미분까지 처리하는 방식에 익숙해진 경우가 많습니다. 물론 계산 결과만 얻는 것이 목적이라면 이러한 방법도 하나의 풀이가 될 수 있습니다. 그러나 이러한 계산에 지나치게 의존하면 (fij)가 무엇을 의미하는지, 부정정력에 대한 단위하중 상태가 왜 필요한지, 그리고 최종적으로 만들어지는 적합방정식이 어떠한 물리적 의미를 가지는지를 놓치기 쉽습니다. 결국 식을 만들어 계산하는 것에서 그치는 것이 아니라, 가상하중의 법칙과 유연도계수, 그리고 변위일치조건이 서로 어떻게 연결되는지를 이해하는 보다 넓은 시야가 필요합니다.

이번 문제에서는 부재 (AC)의 부재력을 부정정력으로 선정하고, 실제 외력에 대한 부재력 영향행렬과 부정정력에 대한 부재력 영향행렬을 각각 구성한 뒤 부재 유연도 매트릭스를 이용하여 변위일치조건을 직접 만들어 보겠습니다. 이렇게 접근하면 흔히 사용하는 변형에너지식을 전개하고 제곱한 뒤 미분하는 과정을 거치지 않고도 부정정력을 체계적으로 산정할 수 있으며, 우리가 익숙하게 사용해 온 변위일치법의 본질 역시 보다 명확하게 확인할 수 있습니다.

2.문제풀이

• 트러스 구조물 ABCD는 1차 부정정에 해당 
• 부재 AC를 부정정력으로 하여 구조물 계산

(1) 부정정력 AC=1 , 외력=0 정정해석

• 내력에 대한 1의 하중 → 외력 없음
• 각 절점에 대하여 절점법 적용시 부재력 쉽게 산정

(2) 부정정력 AC=0 , 외력=1kN 정정해석

(3) 유연도 매트릭스 적용

① 미지력에 대한 평형행렬 (Ax)과 외력에 대한 평형행렬 (Ap)

② 부재 유연도 행렬 (F*)

③ 외력에 대한 미지력의 상호 유연도 행렬 (Fxp)

④ 미지력의 유연도 행렬 (Fxx)

⑤ 변위일치 조건식 유도 및 부재력 산정

• 부재 AC의 외력에 대한 변형과 부정정력에 의한 변형의 합은 0

따라서 부재 AC의 부재력은 324.074kN으로 인장력을 받게 됩니다.

3. 마무리하며

이번 문제에서는 2023년 5급 공채 구조역학 제3문 소문제 1번을 통해 유연도 매트릭스를 이용한 부정정 트러스의 해석법을 살펴보았습니다. 유연도법의 기본적인 흐름은 어렵지 않습니다. 먼저 구조물의 부정정 차수만큼 부정정력을 선정하여 기본 정정구조를 만들고, 실제 외력과 각각의 부정정력에 대한 단위하중 상태에서 부재력을 산정합니다. 이후 각 부재의 유연도를 이용하여 (fij)로 표현되는 유연도계수를 구성하고, 최종적으로 구조물이 만족해야 하는 변위일치조건을 적용하여 부정정력을 구하게 됩니다.

이 과정을 자세히 들여다보면 유연도 매트릭스 해석법이 전혀 새로운 원리에서 출발하는 것이 아니라는 것을 알 수 있습니다. 결국 그 바탕에는 가상하중의 법칙(Virtual Force Method)​이 있습니다. 실제 하중에 의한 부재력과 단위 가상하중에 의한 부재력을 조합하여 원하는 방향의 변위를 구하고, 이를 행렬의 형태로 체계화한 것이 유연도 매트릭스 해석의 핵심이라고 볼 수 있습니다. 특히 (fij)는 단순히 적합방정식을 만들기 위해 외워야 하는 계수가 아니라, (j) 방향의 단위 부정정력에 의해 (i) 방향으로 발생하는 변위, 즉 구조물의 유연성을 나타내는 물리적인 의미를 가지고 있습니다. 이러한 의미를 이해하고 나면 변형에너지를 모두 전개하고 제곱한 뒤 계산기로 미분하는 과정에 의존하지 않고도 적합방정식이 왜 그러한 형태로 만들어지는지를 자연스럽게 이해할 수 있습니다.

구조역학에서는 하나의 문제를 푸는 계산기술보다 그 식이 어디에서 출발했는지를 이해하는 것이 더욱 중요하다고 생각합니다. 최소일의 원리나 카스틸리아노의 정리로 접근하더라도 결국 얻어지는 변위일치식은 같은 곳을 향하게 됩니다. 이번 풀이에서 사용한 유연도 매트릭스 역시 가상하중의 법칙과 변위일치조건을 행렬로 정리한 것이므로, (fij)의 의미와 단위 부정정력에 의한 부재력의 의미를 이해해 두면 부정정 차수가 증가하는 구조물에서도 동일한 원리를 그대로 확장하여 사용할 수 있습니다.

다음 포스팅에서는 이어서 2023년 5급 공채 구조역학 제3문 소문제 2번의 라멘 구조물도 풀어보겠습니다. 소문제 2번 역시 복잡하게 접근할 필요가 없습니다. 이번 풀이에서 살펴본 변위일치조건식의 원리를 그대로 활용하면 매우 간단하게 해석할 수 있으며, 이를 통해 유연도법을 단순히 특정 유형의 부정정 트러스를 푸는 계산법이 아니라 구조물의 적합조건을 다루는 하나의 일관된 해석 원리로 이해할 수 있을 것입니다.

마지막으로 구조역학 및 응용역학 문제에 대해 함께 공부하고 의견을 나눌 수 있도록 ‘오레오구조’ 카카오톡 오픈채팅방​을 운영하고 있습니다. 블로그에 올린 문제에 대한 질문뿐만 아니라 공부하면서 궁금했던 내용이나 함께 살펴볼 만한 재미있는 문제들도 자유롭게 공유해 주시면 좋겠습니다. 실시간으로 모든 질문에 답변드리기는 어렵지만, 채팅방에 올라온 질문 중 함께 다뤄볼 만한 내용은 모아서 추후 해설이나 블로그 포스팅을 통해 소개하도록 하겠습니다. 구조역학을 공부하시는 분들의 많은 참여 부탁드립니다.

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