토목구조기술사 127회 2-5 (변위법 매트릭스 풀이의 소개)

1.개요

이번 포스팅에서는 트러스 구조물의 부재력을 매트릭스 변위법(Matrix Displacement Method)으로 해석해보고자 합니다. 단순히 강성행렬을 조립하여 정답을 구하는 것에 그치지 않고, Global 변위와 Local 부재변형의 관계가 어떻게 정의되고, 이것이 가상변위의 법칙을 통해 힘의 평형관계와 어떻게 연결되어 최종적인 구조물 강성행렬을 만들어내는지 그 논리적 흐름을 살펴보는 것이 이번 풀이의 주된 목적입니다.
일부 서브노트나 교재에서는 Kinematic Matrix를 힘의 평형관계로부터 곧바로 구성한 뒤, 흔히 인터넷에서 찾아볼 수 있는 (ASA^T) 형태의 공식을 적용하여 문제를 해결하기도 합니다. 물론 이러한 방식으로도 계산 자체는 충분히 수행할 수 있습니다. 다만 이와 같이 접근하면 변위의 적합조건인 Kinematic 관계와 힘의 평형관계가 왜 서로 전치행렬(Transpose)의 형태로 연결되는지에 대한 논리적 연결고리가 생략되기 쉽습니다. 결국 행렬의 형태와 공식을 외워서 적용하는 풀이가 되어버릴 수 있다는 것입니다.
중요한 것은 (B), (B^T), (S)의 위치를 암기하는 것이 아닙니다. Global 절점변위 (r)로부터 부재의 Local 변형 (v)를 구하는 Kinematic 관계 [ v=B r ] 에서 출발하여, 부재의 축강성으로부터 [Q=S v] 를 얻고, 다시 가상변위의 법칙(Principle of Virtual Work)을 적용함으로써 Global 하중과 부재력 사이의 관계 [ P=B^T Q] 가 도출된다는 흐름을 이해하는 것이 핵심입니다.
이 세 관계를 연결하면 자연스럽게 [ P=(B^TSB) r ]가 되고, 비로소 구조물의 강성행렬 [K=B^TSB]가 만들어집니다.
즉, (B^T)는 편의를 위해 임의로 붙인 행렬이 아니라 Kinematic 관계와 힘의 평형관계를 가상변위의 법칙이 연결해준 결과입니다. 이러한 배경을 이해한다면 (ASA^T)든 (B^TSB)든 표현 방식이 달라지더라도 그 안에 담긴 구조역학적 의미를 놓치지 않을 수 있습니다.
물론 이러한 수준의 매트릭스 전개는 7급이나 9급 응용역학을 준비하는 수험생에게 반드시 필요한 내용은 아닙니다. 해당 시험에서는 보다 직접적이고 빠른 풀이가 효율적일 수 있습니다. 반면 5급 공채 구조역학이나 구조기술사를 준비하는 분들이라면 단순히 완성된 강성행렬을 암기하여 사용하는 데서 그치지 않고, 변위의 적합조건 → 부재 구성관계 → 가상변위에 의한 평형조건 → 전체 강성행렬로 이어지는 논리적 Flow를 한 번쯤 정확히 이해해둘 필요가 있습니다. 이번 문제를 통해 매트릭스 변위법이 단순한 행렬 계산법이 아니라 기존에 배웠던 적합조건, 힘의 평형, 가상변위의 법칙을 하나의 체계로 정리한 구조해석법이라는 점을 살펴보겠습니다.

2.문제풀이

(1) Global DOF와 Local DOF의 정의

• Global 자유도 (DOF)는 절점 a의 수평, 수직 이동에 대한 자유도 (r1, r2)로 정의
• Local 자유도 (DOF)는 부재당 1개씩 v1, v2, v3로 정의

① Global DOF r1=1 , r2=0 일 때의 변위도

② Global DOF r1=0 , r2=1 일 때의 변위도

(2) 변위 변환 매트릭스 혹은 Kinematic Matrix (B)의 산정

• 변위 매트릭스 B는 각 Global 자유도에 대응하는 Local 자유도의 변위 관계를 column으로 하여 구성합니다.

(3) 부재 Local Stiffness Matrix의 구성

• 부재의 각 강성도를 대각성분으로 취합니다.

(4) 가상 변위의 법칙

한편 부재력은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

따라서 가상 변위의 법칙에 부재력을 대입하면 다음과 같습니다.

따라서 구조물 강성행렬은 다음과 같다고 할 수 있습니다.

(5) 변위 산정

① 구조물 강성행렬의 산정 

② 변위 산정 

(6) 부재력 산정

따라서 부재 ad는 74.5806 kN만큼 인장력을, 부재 ac는 1.87896 kN만큼 압축력을, 부재 ab는 88.6849kN 만큼 압축력을 받게 됩니다.

3.마무리하며

이번 문제에서는 트러스의 부재력을 구하는 것 자체보다 매트릭스 변위법이 어떠한 구조역학적 논리에서 출발하여 강성행렬을 구성하는지에 조금 더 초점을 맞추어 살펴보았습니다. 절점의 Global 변위 (r)에서 출발하여 Kinematic 관계인 (v=B r)를 통해 각 부재의 Local 변형을 구하고, 부재의 강성관계 ( Q=S v)를 적용한 뒤, 마지막으로 가상변위의 법칙을 통해 (P=B^T Q)라는 평형관계를 얻었습니다. 이를 하나로 연결하면 자연스럽게 [ P=B^TSB r, K=B^TSB]라는 매트릭스 변위법의 기본식에 도달하게 됩니다.
특히 여기서 중요한 것은 (B), (B^T), (S)의 배치나 완성된 행렬식을 그대로 암기하는 것이 아닙니다. Kinematic 관계에서 사용된 행렬이 왜 힘의 평형관계에서는 전치행렬 (B^T)의 형태로 나타나는가를 이해하는 것이 훨씬 중요합니다. 그 사이를 연결해주는 것이 바로 가상변위의 법칙입니다. 이 연결고리를 이해하고 있다면 교재에 따라 (ASA^T), (B^TSB) 등 서로 다른 기호와 표현을 사용하더라도 그 본질을 어렵지 않게 파악할 수 있습니다. 반대로 이 과정을 생략한 채 평형조건에서 행렬을 만들고 정해진 공식을 대입하는 방식만 익힌다면 계산은 할 수 있어도 매트릭스 구조해석의 전체적인 흐름을 이해하기는 어렵습니다.
7급이나 9급 응용역학을 준비하는 수험생이라면 이러한 행렬의 유도과정까지 반드시 학습할 필요는 없습니다. 시험에서는 주어진 시간 안에 보다 간결한 방법으로 부재력을 산정하는 것이 중요하기 때문입니다. 하지만 5급 공채 구조역학이나 구조기술사를 준비한다면 결과식만 암기하기보다는 ‘변위의 적합조건 → 부재의 힘-변형 관계 → 가상변위에 의한 평형조건 → 구조물 전체 강성행렬’로 이어지는 Flow를 이해해두는 것이 좋습니다. 결국 매트릭스 구조해석은 기존 구조역학과 동떨어진 새로운 계산법이 아니라, 우리가 이미 알고 있는 적합조건·구성관계·평형조건과 가상변위의 법칙을 행렬이라는 언어로 체계화한 것이라고 볼 수 있습니다. 이 원리를 이해하는 것이 복잡한 구조물과 더 큰 강성행렬을 다루기 위한 출발점이라 생각합니다.

---

오레오구조 카카오톡 오픈채팅방 안내

응용역학 및 구조역학을 공부하시는 분들과 함께 문제와 풀이 방법을 공유하기 위해 오레오구조 카카오톡 오픈채팅방을 운영하고 있습니다.
7·9급 공무원 응용역학을 비롯하여 5급 공채 구조역학, 구조역학 및 응용역학에서 공부하다 궁금했던 내용이나 함께 살펴볼 만한 기출문제가 있다면 자유롭게 이야기해 주세요. 단순히 정답을 구하는 것보다는 같은 문제를 더 쉽고 빠르게 풀 수 있는 방법, 서로 다른 해석법 사이의 연결관계, 시험장에서 활용할 수 있는 풀이 전략 등을 함께 공유하는 공간으로 운영하고자 합니다.
실시간으로 모든 질문에 답변드리기는 어렵지만, 채팅방에 올라오는 좋은 질문이나 재미있는 문제들은 모아두었다가 블로그 포스팅이나 해설을 통해 가능한 범위에서 다뤄보겠습니다. 다만 학부 과제나 숙제를 대신 풀어드리는 목적의 질문은 지양하고 있으니 참고 부탁드립니다.
관심 있으신 분들의 많은 참여 부탁드립니다.
https://open.kakao.com/o/pfJPsREi

오레오구조