건축구조기술사 136회 2-6 (충격하중의 자유진동 개념과의 연결)

1.개요

이 문제는 상자 내부의 물체가 두 스프링에 매달린 상태로 낙하할 때 최대 변위와 가속도를 구하는 문제입니다. 기술사 문제로 출제되었지만, 앞서 소개한 Chopra의 『Dynamics of Structures』 연습문제와 구조 및 풀이 방식이 사실상 동일합니다.

저 역시 학부 시절 교수님께서 내주신 연습문제 숙제로 이 문제를 풀어본 적이 있습니다. 당시 교수님께서는 Argand Diagram에 복원력과 관성력을 벡터로 그려 각 힘의 관계를 설명해 주셨고, 그 설명이 오래 기억에 남아 이번 풀이에도 함께 담았습니다.

 

다만 문제에 제시된 조건만으로는 충돌 직후의 초기조건이 완전히 정해지지 않습니다. 자유낙하 중에도 물체가 상자에 대해 진동할 수 있기 때문입니다. 따라서 아래 풀이에서는 자유낙하 중의 내부 상대진동을 생략하고, 상자가 지면에 닿는 즉시 튀어 오르지 않고 정지하며, 충돌 순간 물체는 낙하 전 정적 평형 위치에 있다고 가정합니다. 이러한 가정을 명시한 뒤 운동방정식과 에너지 관계로 최대 변위를 구하고, Argand Diagram으로 최대가속도에서의 힘 관계를 살펴보겠습니다.

2.문제풀이

(1) Free Vibration으로의 접근

① EOM (Equation of Motion) 구성

오일러-라그랑주 방정식 적용하면 아래와 같습니다.

② 미분방정식의 풀이

양변을 M으로 나눈 후 방정식을 풀어보면 다음과 같습니다.

충돌직후 지면에 충돌 후 멈춘 초기조건 적용하게 되면 상수 C1과 C2를 구할 수 있습니다.

상자는 지면 충돌한 직후 정지하며, 충돌 순간 문제는 정적 평형위치에 있다고 가정합니다. 충돌 과정에서의 물체의 속도변화는 무시합니다. 이후 u는 정적 평형위치로부터의 상대변위로 정의합니다.

 

주어진 값을 대입시,

③최대 변위와 최대가속도 산정

따라서 최대 진폭은 

0.2m에 해당합니다.

 

또한 최대 가속도는

중력가속도의 10배에 해당합니다.

(2) 에너지 보존법칙으로 적용

① 위치에너지 → Strain Energy로 모두 전환

따라서 최대 변위는 1/5m로 동일하게 나옵니다.

② Argand Diagram에서 가속도 산정

umax에 대한 스프링력을 복소평면상으로 표현하면 아래와 같습니다.

따라서 힘에 대한 부분을 Argand Digram 상에 표현하면 다음과 같습니다.

위상이 동일하므로 실수부 축에서 힘의 평형을 이루려면 Fs=Fi 여야 합니다.

따라서 다음과 같은 관계식이 성립합니다.

최대 가속도도 위와 동일하게 10g가 나옵니다.

3.마무리하며

이 문제는 최대 변위와 가속도를 계산하는 것에서 그치지 않고, 충돌 직후 어떤 상태를 초기조건으로 두었는지 확인하는 데 의미가 있습니다. 자유낙하 중 물체의 상대진동을 생략한다는 가정 아래에서는 운동방정식과 에너지 관계로 최대 변위를 구할 수 있고, Argand Diagram에서는 최대 변위 순간 복원력과 관성력의 방향 및 크기를 확인할 수 있습니다. 학부 시절 교수님께서 힘의 관계를 그림으로 설명해 주셨던 것처럼, 하나의 결과를 여러 관점에서 연결해 보면 자유진동의 물리적 의미가 더 선명해집니다. 기술사 답안에서도 계산 결과와 함께 해석에 사용한 가정을 밝혀 두는 것이 이 문제의 핵심이라고 생각합니다.

 

오레오구조 카카오톡 오픈 채팅방

구조역학 문제풀이와 관련하여 함께 공부하고 질문을 나눌 수 있도록 오레오구조 카카오톡 오픈채팅방도 운영하고 있습니다. 실시간으로 모든 질문에 답변드리는 방식보다는, 공부하면서 궁금했던 문제나 함께 살펴볼 만한 내용을 공유해 주시면 질문을 모아 블로그 포스팅이나 해설의 형태로 다루고 있습니다. 7급·9급 응용역학을 비롯하여 5급 공채, 구조기술사 및 구조역학 자체에 관심 있으신 분들의 많은 참여 바랍니다.

https://open.kakao.com/o/pfJPsREi

오레오구조