2026년 5급 공채 재료역학 4번
1.개요
이 문제에서 특히 주의할 점은 평면응력 상태가 평면변형률 상태를 뜻하지는 않는다는 것입니다. 얇은 강철판의 평면응력 가정에서는 두께 방향 응력을 0으로 두지만, 면내 응력으로 인한 포아송 효과 때문에 두께 방향 변형률은 발생할 수 있습니다. 따라서 판의 면내 변형률만 계산하고 끝내면 문제에서 요구하는 모든 주변형률을 설명하기 어렵습니다. 로제트가 측정한 값과 평면응력의 구성식을 연결해 두께 방향 변형률까지 구해보겠습니다.
응력·변형률 텐서의 좌표회전이나 고유값 계산을 공식처럼 사용하다 보면, 각각의 결과가 실제로 어떤 방향과 상태를 나타내는지 놓치기 쉽습니다. 적어도 면내 두 방향에 대해서는 모어원의 중심, 반지름, 원 위의 점과 전단 성분의 부호를 직접 확인해 보는 것이 좋습니다. 그러면 좌표축을 바꾸어도 주변형률은 변하지 않는 이유, 로제트의 측정 방향이 곧 주방향은 아닌 이유가 그림으로 드러납니다. 이번 풀이에서는 2차원 모어원으로 그 관계를 먼저 이해한 뒤, 두께 방향을 포함한 3차원 주변형률로 확장하겠습니다.
2.문제풀이
(1) 용접선에 수평 및 수직한 방향으로의 응력과 전단응력을 산정
- Mohr원으로 쉽게 기하학적으로 판단
(2) 용접선에 수평 및 수직한 방향으로의 변형률과 전단변형률을 산정
- 전단면 s축에 수직인 축은 n과 z축
- 평면응력상태에서 변형률은 3차원 상태
따라서 용접선에 수평한 방향으로 변형률은 s축에 대해서 형성되며 값은 374μ 입니다.
또한 용접선에 수직한 방향으로 변형률은 n 축, z축에 대해서 형성되며 값은 - 94μ , -120 μ입니다.
이때 전단 변형률을 살펴보면,
따라서 전단변형률은 s-n 축에 대해서만 형성되며 값은 -624μ 입니다.
(3) εa=580μ , εb=-35.6μ , εc=150μ 일때의 응력, 변형률
- 문제에서 평면응력상태를 가정하였으므로 σz=0
- 변형률은 3D로 발생
- 문제에서 면내 응력, 변형률의 모어원을 작도하라고 하였으므로 모어원을 통해 문제 접근
① θ만큼 기울어진 축(a-c 축) 기준 변형률 산정 및 모아원 작도
② θ만큼 기울어진 축(a-c 축) 기준 응력 산정 및 모아원 작도
전단응력을 산정하면 다음과 같습니다.
이를 주어진 조건을 통해 응력을 산정하면,
③ 모든 주응력값과 모든 주변형률값 산정
주응력값은 위의 모어원 작도에서 활용한바와 같이 다음과 같이 산정 됩니다.
그리고 평면응력상태이므로 추가 주응력은 존재하지 않습니다.
한편, 변형률은 3차원으로 존재하므로 주 변형률은 값이 3개 존재합니다.
우선 εz 값을 산정하면,
ac축에 대해서는 전단변형률이 존재하지만, az 축, cz축에 대해서는 전단변형률이 존재 하지 않습니다.
3차원 요소에서 변형률에 대한 Strain Tensor는 다음과 같습니다.
이에 대한 EigenValue가 3차원상에서의 주변형률이 됩니다.
따라서 주변형률은 3개가 존재하며 각각 -312.857μ , -89.6486 μ , 819.649 μ 입니다.
3.마무리하며
이 문제의 핵심은 계산 결과보다 어떤 방향의 성분을 구하고 있는지 끝까지 구분하는 것에 있습니다. 용접선을 기준으로 좌표를 회전하면 응력 성분은 달라지지만 물리적인 응력 상태 자체가 바뀌지는 않습니다. 로제트 측정값도 마찬가지입니다. 측정 방향을 곧바로 주방향으로 받아들이기보다, 모어원에서 각 점의 위치와 전단변형률의 부호를 확인해야 주변형률에 올바르게 도달할 수 있습니다.
또한 평면응력이라는 조건은 두께 방향 응력이 0이라는 뜻이지, 두께 방향 변형률이 0이라는 뜻이 아닙니다. 면내 모어원으로 얻은 두 주변형률에 포아송 효과로 발생한 두께 방향 변형률을 더해야 이 문제의 세 주변형률을 모두 설명할 수 있습니다. 텐서 회전과 고유값 계산은 이를 간결하게 정리하는 도구이지만, 적어도 2차원에서는 모어원을 직접 그려보며 각 값의 의미를 확인하는 연습이 필요합니다. 그 과정이 익숙해질수록 3차원으로 확장할 때도 공식의 결과를 더 분명하게 해석할 수 있습니다.