2025년 서울시 7급 응용역학 1번

1.개요

양단이 고정된 축의 비틀림 문제는 부정정 구조물이므로, 평형조건과 변형의 적합조건을 함께 고려해야 합니다. 다만 이러한 원리를 충분히 이해하고 있다면, 시험장에서 매번 길게 식을 전개하지 않고도 하중의 위치와 중첩원리를 이용하여 반력모멘트를 빠르게 구할 수 있습니다. 이번 글에서는 비틀림강성이 일정한 축을 대상으로, 거리의 비를 활용하여 문제를 먼저 간단히 해결한 뒤 그 풀이가 성립하는 배경을 살펴보겠습니다. 특히 비틀림 공식과 축부재 공식의 대응 관계를 통해 하중·단면·재료·변형이 어떻게 연결되는지 설명하고, 한쪽 고정단을 해제한 후 회전각을 다시 0으로 만드는 적합조건으로 반력모멘트의 분담 비율을 유도하겠습니다. 이를 통해 ‘가까운 고정단이 더 큰 반력모멘트를 부담한다’는 직관을 역학적으로 이해하고, 그 이해를 실제 시험에서 빠르게 치고 나가는 풀이 전략으로 연결해 보고자 합니다.

2.문제풀이

(1) 빠르게 문제 풀기

비틀림강성 (GJ)가 일정한 양단 고정축에서는, 집중 비틀림모멘트가 양쪽 고정단에 분담되는 비율이 작용점에서 각 고정단까지의 거리의 역비로 결정됩니다.

작용점에서 고정단까지의 구간이 짧을수록 회전에 저항하는 강성 (GJ/L)이 크므로, 가까운 고정단이 더 큰 반력모멘트를 부담합니다. 이는 단순보의 집중하중에 대한 지점반력이 결정되는 방식과도 유사하여, 거리의 비를 이용하면 빠르게 계산할 수 있습니다.

이 문제 역시 두 비틀림모멘트의 영향을 각각 구한 뒤 중첩하면 암산으로 해결할 수 있습니다.

 우선 2To가 가운데 있기때문에 A지점과 D 지점이 동일한 반력으로 저항 할 것이고, B지점에 작용하는 반대 방향의 비틀림 To는 거리가 1:3이므로 A 쪽에 3배 만큼 반력이 작용합니다.  

따라서 다음과 같습니다.

이를 조금더 친절하게 설명하면 다음과 같습니다.

두 비틀림모멘트의 영향을 각각 구한 뒤 중첩하면 암산으로 해결할 수 있습니다. 먼저 중앙에 작용하는 (2T_0)만 고려하면, 양쪽 구간의 길이와 비틀림강성이 같으므로 A점과 D점에는 각각 (T_0)의 반력모멘트가 발생합니다. 반력모멘트의 방향은 가해진 (2T_0)와 반대입니다.

다음으로 B점에 작용하는 반대 방향의 (T_0)만 고려하겠습니다. B점에서 A점과 D점까지의 거리는 각각 (L/4), (3L/4)이므로, 반력모멘트의 크기는 역비인 (3:1)로 분담됩니다. 따라서 A점에는 (3T_0/4), D점에는 (T_0/4)의 반력모멘트가 발생하며, 그 방향은 앞서 중앙의 (2T_0)에 의해 발생한 반력모멘트와 반대입니다.

두 결과를 중첩하면 양쪽 고정단의 최종 반력모멘트의 크기는 다음과 같습니다.

(2) 배경지식

① 비틀림에 대한 공식

• 비틀림에 대한 공식은 대략적으로 축부재 공식과 닮은 점이 있습니다.
  비틀림을 어려워 하시는 분들은 시험장에서 비틀림을 유형을 버리는 것보다 축부재 공식으로 연상을 하여 접근하는 것도 좋습니다.

① 외력과 단면의 성질을 연결하는 부분입니다. 축부재에서는 축력을 단면적으로 나눈 값이 축응력이 됩니다. 따라서 같은 축력이 작용하더라도 단면적이 클수록 응력이 작아집니다. 비틀림에서는 비틀림모멘트를 극단면2차모멘트로 나눈 값이 전단응력의 반지름 방향 변화율을 결정합니다. 특히 극관성모멘트를 살펴보면 비틀림에 대한 단면의 저항 능력은 단순히 면적이 얼마나 큰지뿐 아니라 그 면적이 중심에서 얼마나 멀리 배치되어 있는지에도 영향을 받습니다.

② 재료의 성질과 부재의 변형을 연결하는 부분입니다. 축부재에서 δ/L은 축변형률이며, 여기에 탄성계수 (E)를 곱하면 축응력이 됩니다. 비틀림 부재에서는 φ/L 이 단위길이당 비틀림 각을 뜻합니다. 중심에서 ρ 만큼 떨어진 위치의 전단 변형률에 전단탄성계수 (G)를 곱하면 전단응력이 됩니다. 결국 두 식 모두 변형의 기하학적 관계에 재료의 응력-변형률 관계를 결합한 것입니다.

③ 두 부재의 응력 분포 차이를 확인할 수 있습니다. 중심축을 따라 축력을 받는 균일한 축부재는 단면에 걸쳐 축응력이 일정합니다. 반면 원형 단면의 비틀림 부재에서는 전단응력이 중심으로부터의 거리 (ρ)에 비례합니다. 중심에서는 전단응력이 0이고, 바깥쪽으로 갈수록 커져 외주에서 최대가 됩니다. 비틀림 식에 (τ)만 쓰지 않고 (τ/ρ)를 쓰는 이유도 바로 여기에 있습니다.

이 관계를 변위에 대해 정리하면 두 공식의 유사성은 더욱 분명해집니다.

축부재의 변형을 억제하는 강성이 (EA/L)이라면, 비틀림 부재의 회전을 억제하는 강성은 (GJ/L)입니다. 두 경우 모두 하중이 크거나 부재가 길수록 변형이 커지고, 재료와 단면이 제공하는 강성이 클수록 변형이 작아집니다. 따라서 이 공식들은 별개의 암기 대상이라기보다, 평형조건·변형의 기하학·재료의 구성관계가 서로 연결된 두 가지 표현으로 이해하는 것이 좋습니다.

다만 위의 비틀림 관계식은 원형 또는 원형 중공 단면을 전제로 하며, 비원형 단면에 극단면2차모멘트 (J)를 그대로 대입하여 적용할 수는 없습니다.

② 거리의 비로 구하는 비틀림 반력

직관적으로 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

비틀림강성이 일정한 축에서는 하중의 작용점이 고정단에 가까울수록 그 사이 구간이 짧아져 회전에 더 강하게 저항합니다.

따라서 가까운 고정단이 더 큰 반력모멘트를 부담하게 됩니다.

앞서 설명한 거리와 반력모멘트의 관계는 변형의 적합조건을 이용하여 유도할 수 있습니다. 비틀림강성 (GJ)가 일정한 양단 고정축에서, 비틀림모멘트 (T)의 작용점과 A점 사이의 거리를 (a), B점 사이의 거리를 (b)라고 하겠습니다. 전체 길이는 (L=a+b)입니다.

먼저 B점의 고정을 해제하여 A점만 고정된 축으로 생각해 보겠습니다. 이 상태에서 (T)를 가하면, A점부터 하중 작용점까지의 구간에는 내부 비틀림모멘트가 발생하지만, 하중 작용점부터 B점까지의 구간에는 내부 비틀림모멘트가 발생하지 않습니다. 따라서 실제 비틀림 변형은 길이 (a)인 구간에서만 발생하고, 오른쪽 구간은 추가로 비틀리지 않은 채 하중 작용점과 같은 각도로 회전합니다. 이때 B점의 회전각은 다음과 같습니다. φ=(Ta/GJ).

그러나 원래 구조물에서 B점은 고정되어 있으므로 회전각이 0이어야 합니다. 이를 만족시키기 위해, 해제한 B점에 외력 (T)와 반대 방향의 반력모멘트 (T_B)를 가합니다. 이 모멘트는 축의 전체 길이 (L)에 걸쳐 내부 비틀림모멘트를 발생시키므로, B점에 만드는 회전각은 다음과 같습니다. 여기서는 (T)에 의한 회전 방향을 양의 방향으로 정하였습니다. φ=(T_B×L/GJ)

두 하중 상태를 중첩했을 때 B점의 최종 회전각이 0이 되어야 하므로, 변형의 적합조건을 활용하면 T_B=Ta/L 입니다.

이제 전체 축의 모멘트 평형을 이용하면 A점의 반력 모멘트도 구할 수 있습니다.

즉, 하중 작용점에서 각 고정단까지의 거리가 (a)이면, 반력모멘트는 그 역비인 (b)로 분담됩니다. 하중이 A점에 가까워질수록 A점 쪽 구간은 짧아지고 회전에 저항하는 강성이 커지므로, A점이 더 큰 반력모멘트를 부담합니다. 이러한 거리의 역비 관계는 양쪽 고정단의 회전이 구속된다는 적합조건에서 도출되는 결과입니다.