2025년 서울시 7급 응용역학 2번

1.개요

이번 글에서는 등분포하중을 받는 1차 부정정 보의 최대 부모멘트와 최대 정모멘트의 크기를 비교하는 문제를 살펴보겠습니다. 부정정 구조물이라고 해서 반드시 복잡한 변형 계산부터 시작해야 하는 것은 아닙니다. 양단 고정보의 고정단 모멘트와 모멘트 전달률인 Carry Over의 의미를 이해하고 있다면, 지점의 회전 구속을 해제하는 과정으로 필요한 반력을 빠르게 산정할 수 있습니다. 이후 전단력이 0이 되는 위치를 찾으면 최대 정모멘트까지 간결하게 구할 수 있습니다.

먼저 시험장에서 빠르게 치고 나갈 수 있는 풀이를 제시하고, 그 배경이 되는 Carry Over의 원리와 반력 산정 과정을 설명하겠습니다. 나아가 양단 고정보, 일단 고정·타단 롤러 보, 단순보를 비교하면서 지점의 구속 조건이 달라질 때 반력과 휨모멘트 분포가 어떻게 변하는지도 살펴보겠습니다. 마지막에는 이러한 구조적 감각으로 값의 범위를 판단하고, 정확한 계산을 끝내기 어려운 상황에서 가장 그럴듯한 보기를 선택하는 객관식 추정 전략도 소개하겠습니다. 정답을 구하는 과정과 함께, 계산 결과를 검토하고 제한된 시험 시간을 효율적으로 활용하는 감각까지 익히는 것이 이번 글의 목적입니다.

2.문제풀이

(1) 빠르게 문제 풀기

• M_A는 등분포 하중을 받는 양단 고정보에서 B 지점 모멘트가 ½ 만큼 Carry Over 된 것으로 해석될 수 있습니다.

• 이에 따른 B지점의 수직 반력 V_B는 다음과 같이 쉽게 산정됩니다.

• 최대 양의 모멘트는 BMD에서 극점에 해당하며, 해당 지점은 전단응력이 0이 되는 지점입니다.

• 따라서 M_C는 다음과 같습니다.

• 문제의 (M_A/M_C)는 다음과 같습니다.

따라서 답은 ②번이 됩니다.

(2) 배경지식

① 모멘트 Carry Over의 의미

회전 구속을 풀면서 모멘트가 반대편으로 ½만큼 전달 (Carry Over)된다라는 것이 어떤 분들에게는 물리적으로 확 와닿는 말은 아닐 수 있을것이라 알고 있습니다. 하지만 처짐각법의 관점에서 바라보면 이해가 수월합니다. 

A가 고정단, B가 롤러인 1차 부정정 보에서 롤러지점에 θ 만큼 각도를 발생시킨 모멘트 M이 있다면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이때 고정단 A에서의 모멘트를 처짐각법으로 산정할 수 있습니다.

따라서 고정단 A에서의 모멘트는 M의 절반이 됩니다.

즉, 보 부재에서 한쪽에 모멘트가 발생시, 반대편 고정단 지점에서는 절반만큼의 모멘트가 발생하는 것을 알 수 있습니다.

이를 모멘트 전달 (Carry Over)라고 합니다.

② 지점 A에서의 고정단 모멘트 산정하기

양단 고정단인 보부재에서 등분포 하중을 받고 있으면 고정단 모멘트는 다음과 같습니다.

이때 B 지점의 모멘트를 0으로 만들기 위해 힘의 크기는 같고 반대방향의 모멘트를 더하겠습니다.

이때 새로 더한 모멘트는 Carry Over 되어 A지점에 전달 됩니다.

따라서 A지점에서의 고정단 반력은 wL^2/8로 쉽게 산정됩니다.

③ 지점 B에서의 반력 구하기

최소일, 변위일치 등 다양한 방법을 활용하는 방법이 있습니다.

보부재에서 최소일은 모멘트 내력을 구해서 제곱하여 적분하는 과정이 있기 때문에 손계산을 하는 7급, 9급에서는 크게 추천하는 방법은 아닙니다. 공학용 계산기가 있다면 연습해보면 좋습니다. 다양한 방법 중에서 가장 빠르게 효율적인 방법을 연구하고 여러번 연습을 하는 것을 추천합니다. 그렇게 하다보면 자연스럽게 값이 암기가 되고 헷갈리는 순간에도 바로 유도가 됩니다.

위에서 설명한 모멘트 Carry Over로 고정단 A에서의 모멘트를 산정하였다면 B에서의 수직 반력 V_B는 힘의 평형으로 빠르게 산정됩니다. 양끝지점의 불균일 모멘트로 인한 전단력과, 불균일 모멘트를 제외한 등분포 하중에 의한 반력을 산정하여 중첩하는 방식으로 접근하면 됩니다.

따라서 V_B는 (3wL)/8이 됩니다.

(3) 구조물에 대한 감각

• 구조물에 대한 감각을 익히려면 단순히 공식을 암기하는 것에서 끝나면 안됩니다.
  지점이 고정단일때와 힌지일때를 비교분석해봐야합니다.

Carry Over로 인해 고정단의 모멘트 크기는 50% 증가하였으며 모멘트의 변화율이 커지기 때문에 고정단에서의 전단력도 25% 상승한 것으로 나옵니다. 두경우에 대해 BMD를 작도해 보면 변화의 양상이 한번에 더 크게 보여집니다.

양단 고정단 모멘트에서 최대 양의 모멘트 값은 단순보에서 고정단 모멘트 값만큼 평행이동 시키면 되므로 

로 쉽게 구할 수 있습니다.

고정단에서의 모멘트 뿐만 아니라 최대 양의 모멘트 발생위치가 롤러쪽으로 이동하면서 최대 양의 모멘트 또한 68.75% 상승한 것을 볼 수 있습니다.

즉, 양단 고정단의 보에서 한쪽을 롤러로 회전에 대한 구속을 release 시켰을때 롤러지점의 모멘트는 0이 되었지만 

보 부재내 최대 모멘트값이 양의 값과 음의 값도 모두 증가한 것을 볼 수 있습니다. 더불어 남은 고정단에서 받는 하중이 증가하는 양상을 목격할 수 있습니다.

만약 남은 한쪽의 고정단도 힌지지점으로 치환하여 회전에 대한 구속을 release시켜버리면 어떻게 될까요?

보 부재내에서의 양의 최대 모멘트값이 증가할 것으로 쉽게 유추할 수 있습니다. 

그리고 양단의 모멘트가 모두 0이면 등분포를 받는 단순보로 금세 알아차릴 수 있습니다.

따라서 단부 조건에 따른 최대 양의 모멘트는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

즉, 원래의 문제로 돌아가서 M_C의 값을 모른다고 하더라도

M_C는 다음과 같은 범위에 있음을 알아 차릴 수 있습니다.

이제 객관식의 이점을 최대한 살려 문제를 풀어보겠습니다.

여기서부터는 정확한 계산이 아니라, 시간이 부족한 시험장에서 활용할 수 있는 객관식 추정 전략입니다. 최대 정모멘트가 위 범위에 있다는 사실은 알지만, 정확한 값까지 구하지 못했다고 가정해보겠습니다. 추가적인 판단 근거가 없다면 두 경계값의 평균을 임시 추정값으로 잡아 보기에 접근해볼 수 있습니다. 이 평균값이 실제 값에 가깝다고 보장되는 것은 아니지만, 아무 근거 없이 선택하는 대신 구조적 감각을 활용하여 후보를 고르는 방법입니다.

이제 어림잡은 M_C의 값을 통해 문제에서 요구하는 값을 산정해보면 다음과 같습니다.

이제 보기로 돌아가 보겠습니다. 

추정한 모멘트 비는 1.5이며, 보기 중 가장 가까운 값은 ②입니다.

따라서 시간이 부족하여 여기서 선택해야 한다면 ②를 고르겠습니다.