2025년 서울시 7급 응용역학 4번
1.개요
캔틸레버 보의 최대 휨응력을 구하는 문제를 보면, 고정단 반력부터 계산하고 전단력도와 휨모멘트도를 차례로 그리는 방법을 떠올리기 쉽습니다. 하지만 시험장에서는 필요한 위치의 모멘트만 구해도 충분한 문제인지 먼저 살펴볼 필요가 있습니다. 이번 문제의 핵심은 최대 휨모멘트가 반드시 고정단에서 발생하는 것은 아니라는 점입니다. 서로 반대 방향으로 작용하는 하중 때문에 보의 중간에서 더 큰 휨모멘트가 발생할 수 있으므로, 주요 지점 사이의 모멘트 변화와 절댓값을 비교해야 합니다. 이번 풀이에서는 가상변위의 원리를 활용해 필요한 모멘트를 빠르게 구하고, 최대 휨인장응력까지 연결해 보겠습니다. 전체 휨모멘트도를 완성하지 않고도 정답에 도달하는 과정을 통해, 계산의 양을 줄이면서도 판단의 근거는 놓치지 않는 접근을 살펴보겠습니다.
2.문제풀이
(1) 최대 모멘트 (절대값) 위치 산정하기
- 차이값을 통해 최대 모멘트 위치를 빠르게 산정하는 것이 Key Point 입니다.
- 일일히 모든 것을 계산하지 않고 A, B, C점의 모멘트의 대소 비교를 빠르게 하는 것이 중요합니다.
- 일반적인 방법으로 반시계방향 내력을 양의 값으로 하면 모멘트는 음의 값을 갖게 됩니다.
헷갈릴 수도 있고 모멘트의 크기를 구하는 것이므로 편의상 시계방향의 내력을 양의값(+)으로 설정하겠습니다.
① MB vs MC
B점과 비교시 C점에서 등분포 하중으로 인한 모멘트 arm 길이가 4m → 6m로 늘어났습니다.
이는 16kN×2m=32kNm 증가분을 의미합니다.
하지만 35kN에 대한 모멘트 arm 길이가 동일하게 2m 늘어났고 이에 대한 모멘트 상쇄가 -70kNm 입니다.
따라서 ΔM=32-70=-38kNm 이며 MC=MB-38 의 관계가 형성됩니다.
② MA vs MB
등분포하중을 통해 모멘트를 볼때 가상변위를 주어 생기는 면적을 토대로 산정할 수 있습니다.
면적에 등분포 하중값을 곱하면 모멘트 증가분에 해당합니다.
한편 아래 그림과 같이 면적 증가분으로 인한 모멘트 증분보다도 35kN이 상쇄한 모멘트가 더 큰 것을 알 수 있습니다.
따라서 MB=MA-42 관계를 알 수 있습니다.
③ MA 산정
- 가상변위의 법칙을 활용시 매우 쉽게 MA값을 구할 수 있습니다.
따라서 모멘트의 크기는 다음과 같습니다.
A점에서 51kNm로 최대 모멘트라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
차이값과 가상변위의 법칙을 설명하기위해 A,B,C값의 모멘트를 모두 구했지만 사실 A지점과 C지점만 비교해도 됩니다.
그 이유는 단순히 지점조건과 집중하중이 작용해서 그렇다라고 설명하기 보다 정확히 말하자면 C점에서 가상변위를 주었을 때를 생각하면 등분포하중과 35kN이라는 집중하중이 만들어내는 모멘트의 차이가 B보다 더 크기 때문에 B를 볼 필요가 없을 뿐입니다.
이와 같은 관점을 전단력도를 통해서도 볼 수 있습니다.
B-C구간에서 모멘트가 지속 감소하므로 절대값의 최대치를 비교하려면 B지점은 건너뛰고 A와 C를 비교하는 것이 합리적입니다.
(2) 최대 휨 인장응력의 크기
휨과 모멘트의 관계는 다음과 같습니다.
보기의 σ 후보군 중에 5를 곱하여 유효숫자 51을 만들 수 있는 것은 보기 ④만 있으므로 나누기를 하지 않고 정답 ④를 바로 찾아 낼 수 있습니다.
3. 가상변위의 법칙으로 MA를 구하는 상세 설명
- 정정구조물에서 가상변위를 주었을때 변형에너지는 생기지 않으며 각 하중이 한 일은 0이 되게 됩니다.
이는 영향선 (뮐러-브레스라우의 법칙)에도 활용됩니다. - 가상변위 1을 주도록 하겠습니다. 회전각 1은 실제 1라이안이 아니라 미소회전 계수를 1로 정규화한 표시 입니다.
4.마무리하며
이번 문제에서 중요한 것은 휨응력 공식에 수치를 대입하는 계산보다, 어느 위치의 휨모멘트를 구해야 하는지 판단하는 과정이었습니다. 캔틸레버라는 이유만으로 고정단을 최대 모멘트의 위치로 정하면, 중간 지점에서 발생하는 더 큰 값을 놓칠 수 있습니다. 하중에 따른 모멘트의 증가와 감소를 확인하고 주요 지점의 절댓값을 비교하면, 전체 휨모멘트도를 그리지 않고도 최대값을 찾을 수 있습니다. 또한 가상변위를 적절히 설정하면 불필요한 반력 계산을 생략하고 원하는 단면의 모멘트를 직접 구할 수 있습니다. 이러한 빠른 풀이는 평형과 가상일의 원리를 이해한 바탕 위에서 필요한 계산을 선택하는 전략입니다. 연습할 때에는 기본 풀이로 결과를 충분히 확인하고, 시험장에서는 “무엇을 모두 구할까?”와 함께 “정답을 위해 꼭 구해야 할 것은 무엇일까?”를 생각해 보시기 바랍니다.