건축구조기술사 120회 3-2 (다자유도 강체좌굴)

1.개요

이번 글에서는 건축구조기술사 제120회 3교시 2번 문제를 가상변위의 법칙으로 풀어보겠습니다. 회전스프링으로 연결된 강체부재에 미소 가상변위를 주고, 외부 가상일과 내부 가상일의 평형으로부터 좌굴하중과 좌굴모드를 구하는 과정입니다. 전포텐셜 에너지를 테일러 급수로 전개하는 대신, 미소회전의 기하학적 관계와 가상일을 이용해 같은 좌굴조건에 도달할 수 있습니다. 특히 두 개의 독립적인 회전각을 사용하여, 다자유도 구조물에서 평형조건이 행렬식과 좌굴모드로 연결되는 과정을 살펴보겠습니다.

2.문제풀이

(1) 좌굴하중 산정

자유도 2개인 구조물이며 좌굴시 모드를 가정하여 A와 D점의 회전각을 θ1, θ2로 하여 내부에너지와 외부에너지를 산정 할 수 있습니다.

내부에너지와 외부에너지의 차이는 전포텐셜 에너지의 2배에 해당합니다.

좌굴 하중을 산정하기 위해 2계 미분 매트릭스를 산정하면 다음과 같습니다.

따라서 다음과 같은 관계가 성립됩니다.

θ1, θ2가 0이 아니므로 행렬값의 determinant는 0이 되어야 합니다.

따라서 좌굴하중은 다음과 같이 산정할 수 있습니다.

(2) 좌굴하중에 따른 좌굴 모드

① P=k/L 인 경우

① P=3k/L 인 경우

3. 마무리하며

이번 문제에서는 가상변위의 법칙을 이용하여 최소 좌굴하중 (Pcr=k/L)과 이에 대응하는 좌굴모드를 구했습니다. 제1모드에서는 두 내부 절점이 같은 방향으로 이동하며 가운데 부재가 수평을 유지하고, (P=3k/L)에 대응하는 제2모드에서는 두 절점이 서로 반대 방향으로 이동합니다. 풀이의 핵심은 가상일의 평형이 각 자유도의 독립적인 가상변위에 대해 성립해야 한다는 점입니다. 이 조건은 전포텐셜 에너지의 정류조건과 같으며, 테일러 급수를 직접 전개하지 않아도 미소회전 가정 아래에서 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 가상변위법과 에너지법을 연결해 이해하면, 좌굴하중뿐 아니라 구조물이 어떤 모양으로 좌굴하는지도 함께 파악할 수 있습니다.