2009년 7급 국가직 응용역학 4번 문제 (처짐각법 풀이)

1. 개요

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2009년 7급 국가직 응용역학 4번 문제 (등가절점하중 + 변위일치 해법)

이전 포스팅에서 말씀드렸듯이, 이번 글에서는 또 다른 풀이 방법을 소개해 드리려고 합니다.

이미 여러 포스팅을 통해 반복해서 강조드린 부분이지만,
효율적인 문제풀이 전략을 고민할 때 반드시 떠올려야 하는 Rule of Thumb이 있습니다.

“부정정 차수가 높을수록 변위법이 효율적이고,
정정에 가까울수록 응력법(가상하중법)이 효과적이다.”

이번 문항은 3차 부정정 구조물입니다.
따라서 이 원칙을 적용해 보면, 자연스럽게 변위법(특히 처짐각법)을 우선적으로 고려해 볼 수 있습니다.

실제로 이 구조를 변위법으로 접근하면 얼마나 간단해지는지,
또한 대칭을 이용했을 때와 이용하지 않았을 때 해석 난이도가 어떻게 달라지는지 비교해보는 것이 매우 의미 있습니다.

이번 포스팅에서는

1. 대칭을 적극적으로 활용한 처짐각법 풀이,
2. 대칭을 사용하지 않은 일반 처짐각법 풀이

두 가지 방식으로 나누어 설명드리겠습니다.

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2. 풀이

(1) 대칭을 활용한 처짐각 법 풀이

응력법의 기본은 부정정차수를 산정하는 것이고 변위법의 기본은 자유도를 산정하는 것입니다.

① 자유도 산정

각 꼭지점은 수평, 수직, 회전을 모두 다 할 수 있습니다. 따라서 절점별 3 자유도를 갖습니다.

한편 A 점에서는 이 모든 것이 구속되어 있고 E 지점에서는 수직 변위가 구속되어 있습니다.

AB와 BE는 축변형을 무시하므로 (EA=∞) 이에 따라 B의 수직 변위가 구속되고 B의 수평 변위는 E의 수평변위에 종속됩니다. 따라서 2개의 contraint 가 생깁니다. 

따라서 자유도는 다음과 같이 정리 할 수 있습니다.

한편 E의 회전 자유도는 부재력에 어떠한 영향을 끼치지 않기 때문에 이를 무시하도록 하겠습니다.

따라서 자유도는 한개 더 줄어듭니다.

2개의 자유도 혹은 변위로 해당 구조물의 부재력을 모두 표현할 수 있습니다. 또한 E의 회전각을 제외하고 모든 변위를 2개의 자유도로 표현할 수 있습니다.

두개의 자유도는 B지점의 회전량과 B지점에서의 수평변위 (Side Sway DOF)입니다.

이를 그림으로 표현하면 다음과 같습니다. 각각의 자유도를 서로 독립적으로 그림으로 표현하겠습니다.

② 등가 절점 하중 산정

또한 하중에 따른 등가 절점 하중을 그림으로 표현하면 다음과 같습니다.

③ 구성 방정식

따라서 위 구성 방정식을 정리하면 다음과 같습니다.

④ 가상 변위의 법칙

- 자유도 θb 에 대한 가상 변위의 법칙은 다음과 같습니다. 이는 평형방정식과 일치하게 됩니다.

- 자유도 δb 에 대한 가상 변위의 법칙은 다음과 같습니다. 이는 평형방정식과 일치하게 됩니다.

⑤ 구성방정식 → 가상 변위의 법칙에 대입

구성방정식에서 모든 내력은 미지수 두개 θB 와 δB로 표현되었습니다.

한편, 각 자유도 별로 가상변위의 법칙을 활용하여 공식 2개를 세울 수 있었습니다.

따라서 구성방정식을 가상변위의 법칙에 대입하여 θB 와 δB를 풀 수 있습니다.

이를 풀게 되면 다음과 같이 산정됩니다.

⑥ 절점 모멘트 산정

구성 방정식을 통해 자유도 θB 와 δB에 대해 절점 모멘트는 다음과 같이 표현되었습니다.

위 변위에 대한 결과 값을 대입하면 다음과 같습니다.

(2) 대칭을 활용하지 않는 처짐각법 풀이

이 과정은 세세한 부연설명을 생략하되 위의 풀이의 흐름을 그대로 따라가도록 하겠습니다.

① 3 자유도 : 4 × 3 - 3 × 2 - 3 = 3

② 절점 모멘트 정의, 고정단 모멘트 및 등가 절점 하중

③ 구성 방정식

④ 가상 변위의 법칙

- θB 에 대한 가상 변위 법칙

- θC 에 대한 가상 변위 법칙

- δ 에 대한 가상 변위 법칙

⑤ 변위 및 절점 모멘트 산정

3. 마무리하며

대칭을 고려하지 않았을때 절점모멘트와 BMD를 그려보면 다음과 같습니다.

BC부재의 정가운데의 모멘트는 0이며 모멘트도를 살펴보면 대칭축을 기준으로 역대칭인 것을 확인할 수 있습니다.

따라서 모멘트와 수평 전단력도 발생하지 않는 Roller로 모델링이 합당하다는 것을 알 수 있습니다.

이전 글에서 소개해드린 변위일치 풀이법과 비교해 보았을 때, 독자 여러분은 어떤 방식이 더 편하셨나요?처짐각법으로 직접 풀었을 때는 대입과 연산이 다소 많아 보이는 느낌을 받으셨을 수도 있습니다.

물론 구조해석에서 기본적인 원칙(Rule of Thumb)은 다음과 같습니다.

“부정정 차수가 증가할수록 변위법이 더 효과적이다.”

하지만 여기서 제가 개인적으로 하나 더 강조드리고 싶은 저만의 룰이 있습니다.

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✔ “연립방정식은 되도록 피하자”

처짐각법으로 접근하면 자유도 2개(각 절점 회전량)가 존재하므로
결국 미지수 두 개의 연립방정식을 풀어야 했습니다.

반면, 이번 문제처럼 역대칭 성질을 정확히 파악하고
이를 활용하여 roller 조건으로 치환하면
절점 모멘트 하나만 미지수로 두어 방정식 한 개로 문제를 끝낼 수 있습니다.

계산 과정은 절반 이하로 줄어들고, 실수 가능성도 크게 낮아집니다.

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✔ 연산을 줄이는 것이 중요한 이유

7급·9급 공무원 시험은 공학용 계산기가 불가하고
오직 손계산으로 문제를 해결해야 합니다.

따라서 저는 수험생분들께 다음과 같은 전략을 권해드립니다.

“일반적인 구조해석 원칙 + 본인만의 단축 풀이 규칙”을 함께 가져갈 것.

풀이가 간단하고 손이 덜 갈수록
시간이 절약되고, 실수가 줄고, 점수가 올라갑니다.