1. 개요
일반적으로 붕괴 메커니즘에 대한 개념은 기술고시나 구조기술사 시험에서 종종 등장합니다.
또한 소성 붕괴하중을 산정하라는 유형의 문제는 프레임 구조물보다는 보 구조물에서 출제 빈도가 더 높은 편입니다.
프레임 구조물에서 해당 유형이 출제되는 경우라면, 대개는 사각형 프레임과 같이 비교적 단순한 형상이 주어집니다.
반면 Gable Roof Frame과 같은 구조는 난이도가 높아, 기술사 시험에서도 출제 사례가 많지 않습니다.
그런 점에서 7급 응용역학 시험에서 프레임 구조물에 대한 소성 붕괴하중 문제가 출제되었다는 점은 매우 신선한 시도라고 볼 수 있습니다.
문제가 다소 어렵게 느껴질 수는 있지만, 이는 수험생의 역량 부족 때문이라기보다는
독립 붕괴 메커니즘과 합성 붕괴 메커니즘을 명확히 구분하지 않고 서술한 조잡한 풀이들,
그리고 이 주제를 체계적으로 다루는 국문 번역 자료가 많지 않다는 점에서 비롯된 측면이 크다고 생각합니다.
그렇다면 과연 위 문제는 짧은 시간 안에 풀 수 있는 문제일까요?
이번 포스팅에서는 이에 대한 답을 제시하고,
- 해당 구조물에서 가능한 독립 붕괴 메커니즘과 합성 붕괴 메커니즘은 무엇인지
- 각각의 경우에 대해 어떤 kinematic 해석이 필요한지
를 중심으로, 문제를 종합적으로 분석해 보도록 하겠습니다.
2. 문제풀이
[참고] 위 문제는 짧은 시간 안에 풀 수 있는가?
이에 대한 답은 “그렇습니다.” 입니다.
오히려 일반적인 처짐을 구하는 문제들보다 연산량이 더 적은 편에 해당합니다.
인터넷이나 일부 자료에서 볼 수 있는 것처럼,
독립 붕괴 메커니즘과 합성 붕괴 메커니즘을 구분하지 않은 채 모든 경우의 수를 무작정 나열하며 분석해야 한다고 설명하는 조잡한 풀이법을 보고
괜히 공포를 느끼실 필요는 전혀 없습니다.
붕괴 메커니즘 문제는
- 어떤 메커니즘이 의미 있는 후보인지를 먼저 선별하고
- 그에 맞는 kinematic 관계만 정확히 세운다면
짧은 시간 안에도 충분히, 그리고 깔끔하게 해결할 수 있는 유형입니다.
정석 풀이는 아래와 같습니다.
따라서 답은 ②번 입니다.
이제 위와 같은 풀이의 기반이 된 Logic을 하나하나 설명해 나가겠습니다.
(1) 필요한 소성힌지의 갯수
위 구조물이 붕괴되기 위해서는, 구조물이 더 이상 하중을 지탱할 수 없도록 불안정 상태가 되어야 합니다.
즉, 1차 부정정 구조물인 위 구조물에 소성힌지 1개가 형성되면 구조물은 정정 구조물이 됩니다.
여기서 소성힌지를 추가로 1개 더 형성시키면, 구조물은 –1차 부정정 상태가 되며,
이 순간이 바로 구조물이 불안정해지는 시점, 즉 붕괴가 발생하는 조건입니다.
따라서 붕괴하중을 규정하기 위해 필요한 최소 소성힌지의 개수는
부정정 차수 + 1
이 됩니다.
위 구조물은 1차 부정정 구조물이므로,
필요한 최소 소성힌지의 개수는 2개라고 할 수 있습니다.
(2) 독립 붕괴 메커니즘
설명의 용이성을 위해 각 절점에 알파벳 부호를 부여하겠습니다.
독립 붕괴 메커니즘은 다음과 같이 두 가지로 구분할 수 있습니다.
- 부재 BCD에서 하중 2P로 인한 Beam Mechanism (보 붕괴 메커니즘)
- 절점 B에 작용하는 집중하중 P로 인해 구조물이 수평 변형을 일으키며,
기둥 AB와 DE가 측방으로 붕괴되는 Sway Mechanism(스웨이 붕괴 메커니즘)
① 보 붕괴 메커니즘 (Beam Mechanism)
가상 변위의 법칙을 통해 보 붕괴 메커니즘의 Kinematic 관계를 나타내면 다음과 같습니다.
B절점과 D절점은 각각 θ 만큼 감소하였으며 C는 2θ만큼 증가하였습니다.
② 스웨이 붕괴 메커니즘 (Sway Mechanism)
가상 변위의 법칙을 통해 스웨이 붕괴 메커니즘의 Kinematic 관계를 나타내면 다음과 같습니다.
B절점은 θ 만큼 증가 D절점은 θ 만큼 감소하였습니다.
③ 합성 메커니즘 (Combined Mechanism)
합성 메커니즘은 그림으로 Kinematic 관계를 표현하지 않아도 됩니다.
합성 메커니즘은 말 그대로 2개의 독립 메커니즘을 합성하였다는 의미입니다.
보 붕괴 메커니즘의 표와 스웨이 붕괴 메커니즘 표를 같이 붙여 넣고 합성해보겠습니다.
보 붕괴 메커니즘에서는 절점 B가 θ만큼 회전 감소하게 됩니다.
반면, 스웨이 붕괴 메커니즘에서는 절점 B가 θ만큼 회전 증가합니다.
이 두 메커니즘을 합성하게 되면, 절점 B의 회전은
+ θ - θ로 서로 서로 상쇄됩니다.
즉, 절점 B는 더 이상 회전을 하지 않으므로 소성힌지가 형성되지 않는 절점이 됩니다.
따라서 합성 붕괴 메커니즘을 고려할 때에는
절점 B에서 발생하던 소성힌지에 해당하는 내부일 (2×Mp×θ) 만큼을 제거해 주어야 합니다.
따라서 소성 붕괴하중 P는 다음과 같이 산정됩니다.
④ 붕괴하중의 산정 (Pu)
최종 붕괴하중은 고려 가능한 여러 붕괴 메커니즘들 중에서
가장 작은 붕괴하중 값을 취하게 됩니다.
이는 구조물을 실제로 붕괴시키는 데 필요한 최소 하중을 의미하며,
동시에 구조물이 저항할 수 있는 최대 하중과 동일한 값입니다.
즉, 이 값보다 하중이 커지는 순간 구조물은 이미 불안정 상태에 들어가게 되며,
더 이상 하중에 저항할 수 없는 상태가 됩니다.
3. 마무리하며
우리는 먼저 기본 독립 붕괴 메커니즘을 통해,
간단한 kinematic 관계만으로도 각 절점의 회전량과 이에 따른 내부일을 빠르게 산정할 수 있음을 확인했습니다.
이후 합성 메커니즘(Combined Mechanism)은
이 두 독립 메커니즘을 그대로 합성하여 외부일과 내부일을 계산하는 방식으로 접근하였습니다.
하지만 시중 교재나 인터넷에 떠도는 많은 풀이를 보면,
합성 메커니즘의 kinematic 관계를 처음부터 다시 그림으로 복잡하게 그려
붕괴하중을 산정하는 방식이 대부분입니다.
이 과정에서 많은 분들이 어려움을 느끼고,
결국 소성 해석 자체에 흥미를 잃게 되는 경우도 적지 않습니다.
사실 이는 ‘합성 메커니즘’이라는 개념에 충실하지 못한 풀이 방식이라고 생각합니다.
합성이란, 새로운 것을 억지로 만들어내는 것이 아니라
이미 알고 있는 독립 메커니즘을 조합하는 것에 불과합니다.
합성 메커니즘을 올바르게 이해하여 그림으로 표현하면,
아래와 같은 형태가 됩니다.
해당 그림에서도 내부일과 외부일을 산정할 수는 있지만,
독립 붕괴 메커니즘을 다룰 때와 비교하면 풀이가 다소 복잡하고 직관성이 떨어지게 됩니다.
바로 이러한 이유 때문에,
합성 붕괴 메커니즘 역시 독립 메커니즘의 조합으로 접근하는 것이 훨씬 효율적입니다.
위와 같이 붕괴 메커니즘을 가정하여 붕괴하중을 산정하는 방식을
일반적으로 상한계 해석(Upper Bound Analysis)이라고 합니다.
반면, 구조물을 차례대로 항복·붕괴시키면서 내력을 추적해 가는 방식은
하한계 해석(Lower Bound Analysis)이라 부릅니다.
여기서 “차례대로 붕괴시킨다”라는 표현이 의미하듯이,
손계산을 전제로 하는 7급 시험 환경에서 하한계 해석을 짧은 시간 안에 적용하는 것은 사실상 불가능합니다.
다만 중요한 점은,
상한계 해석과 하한계 해석은 최종적으로 동일한 붕괴하중을 산정하며,
그 결과는 유일해로 귀결된다는 것입니다.
올바른 접근법을 통해 소성 해석에 대해 흥미를 느끼시길 바랍니다.
해당 유형의 출제 가능성은 높지 않아 보이지만,
출제 빈도가 낮다고 해서 포기하기보다는
개념 자체는 쉽고 빠르게 정리할 수 있는 유형이므로 한 번쯤은 반드시 챙겨 두시길 권합니다.
추후 구조기술사나 더 상위 시험에 도전하시게 될 때,
이번 내용이 단단한 발판이 되었으면 합니다.