2025년 5급공채 구조역학 2번 (구조동역학: 기초가진응답)

1.개요

이번에 다뤄볼 문제는 단자유도계(SDOF)의 Base Transmissibility(기초 가진 응답) 에 관한 매우 전형적인 구조동역학 문제입니다. 구조동역학을 학부 과정에서 배우는 학교라면 중간고사나 기말고사에서 거의 빠지지 않고 출제되는 유형이며, 공무원 시험이나 기술고시에서도 종종 등장하는 기본 문제입니다.
문제의 형태는 다양하게 바뀔 수 있습니다. 본 문제처럼 진동테이블 위에 질량-스프링 시스템이 놓인 경우도 있고, 회전체의 불평형 질량(Unbalance Mass)에 의해 발생하는 강제진동 문제로 출제되기도 합니다. 또한 차량이 요철이 있는 도로를 주행할 때의 차체 진동, 철도 차량의 승차감 해석 등도 결국 같은 원리로 설명됩니다. 겉모습은 서로 다르지만 모두 동일한 운동방정식에서 출발하는 문제들입니다.
다만 아쉬운 점은 많은 학생들이 이러한 문제를 접하면 암기해 둔 전달률(Transmissibility) 공식을 꺼내어 숫자만 대입하는 방식으로 접근한다는 것입니다. 물론 시험에서는 정답을 얻을 수 있겠지만, 그렇게 공부하면 조금만 형태가 변형되어도 문제를 풀기 어려워집니다.
개인적으로는 먼저 운동방정식을 세우고, 그 해를 Homogeneous Solution(자유진동해) 과 Particular Solution(강제진동해) 으로 구분하여 이해하는 것이 가장 중요하다고 생각합니다. 
실제로 토목공학 분야에서는 특정 시점의 응답(Time History) 자체보다 최대 변위(Maximum Displacement) 나 최대 응답 크기에 관심을 가지는 경우가 대부분입니다. 따라서 정상상태(Steady State)에 도달한 이후의 응답을 나타내는 Particular Solution이 실질적인 의미를 갖게 됩니다.
TI-Nspire와 같은 공학용 계산기의 deSolve 기능을 이용하여 미분방정식을 직접 풀 수도 있지만, 그것보다 훨씬 중요한 것은 운동방정식의 각 항이 주파수비 (β=ω/ωn) 에 따라 어떻게 변화하는지 이해하는 것입니다.
특히 Argand Diagram 상에서 β, 강성 k, 감쇠계수 c가 변화할 때 힘의 벡터 관계가 어떻게 달라지는지를 파악하면 수많은 강제진동 문제들을 하나의 관점으로 정리할 수 있게 됩니다.
다행히 이번 문제는 감쇠가 없는 경우(c=0)이므로 전달률 식이 매우 단순하게 정리됩니다. 따라서 복잡한 계산보다는 Base Transmissibility의 핵심 개념을 이해하기에 좋은 예제라고 할 수 있습니다. 이번 포스팅에서는 이 간단한 문제를 통해 기초가진을 받는 단자유도계의 운동방정식과 전달률의 의미를 차근차근 살펴보겠습니다.

2.문제풀이

(1) 자유 물체도와 운동 방정식 산정

운동방정식은 다음과 같이 서술 할 수 있습니다.

 

(2) 미분방정식 풀이와 절대 변위 전달률

이때 진동테이블의 가속도를 산정하게 되면

이는 진동 테이블의 고유 진동수를 물어보는 1번 문항에 대한 답이 됩니다.
 
조화진동을 복소수로 표현하게 되면 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 
이때 U와 Y는 최대변위를 나타냅니다.

이를 운동방정식에 대입하게 되면 다음과 같습니다.

고유진동수 대비 주파수 비를 β라 할 때 다음과 같이 표현 할 수 있습니다.

변위의 단순 크기에 대한 비교이기 때문에 따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

(3) 절대 최대 변위 전달률 4% 일때 wn 과 k 산정

강성도를 산정하기 위해서는 고유진동수의 정의를 활용합니다,

3. 마무리하며

이번 문제는 단순히 전달률 공식을 암기하여 대입하는 문제가 아니라, 기초가진(Base Excitation)을 받는 단자유도계의 운동방정식으로부터 전달률을 직접 유도할 수 있는지를 확인하는 문제로 볼 수 있습니다. 운동방정식에서 출발하여 진동테이블의 변위 y가 등가 외력의 역할을 수행함을 확인할 수 있습니다. 이후 조화응답을 가정하여 전달률을 유도할 수 있으며, 주파수비β가 구조물의 응답을 결정하는 핵심 변수임을 알 수 있습니다.
특히 본 문제에서는 전달률이 4%에 불과하므로 β>1인 영역에서 작동하고 있음을 알 수 있으며, 이는 가진주파수가 고유진동수보다 충분히 큰 경우 질량이 진동테이블의 움직임을 효과적으로 차단하는 진동 절연(Vibration Isolation) 상태에 있음을 의미합니다. 따라서 전달률의 의미와 주파수비의 물리적 해석을 이해하고 있다면 공식을 암기하지 않더라도 자연스럽게 풀이를 전개할 수 있으며, 이는 향후 감쇠가 포함된 전달률 문제나 구조동역학의 보다 복잡한 가진 문제를 해결하는 데에도 중요한 기초가 됩니다.