건축구조기술사 127회 2-1 (매트릭스 응력법과 변위법은 어떻게 연결되는가, 가장 효율적 방법에 대한 탐구)

1.개요

지난 포스팅에서는 타이로드가 설치된 동일한 구조물을 매트릭스 응력법(Matrix Force Method)으로 해석해 보았습니다. 당시에는 타이로드의 축력을 부정정력으로 선정하고, 평형행렬과 부재 유연도행렬을 구성한 뒤 변위일치조건을 적용하여 타이로드의 축력과 각 부재의 휨모멘트를 산정하였습니다. 이번 포스팅에서는 같은 문제를 반대의 관점인 매트릭스 변위법(Matrix Displacement Method)으로 다시 풀어보고자 합니다. 동일한 구조물을 두 가지 방법으로 해석해 보면 응력법과 변위법이 단순히 서로 다른 공식을 사용하는 풀이법이 아니라, 구조물의 힘과 변위를 각각 미지수로 선택하여 동일한 역학적 조건을 표현하는 방법이라는 점을 보다 명확하게 확인할 수 있습니다.

이번 풀이에서는 먼저 구조물의 Global DOF와 Local DOF의 운동학적 관계를 정의하고, 이를 통해 변위 적합행렬인 B Matrix를 구성합니다. 이후 각 부재의 강성관계를 이용하여 전체 구조물의 강성행렬을 만들고 절점변위를 산정한 뒤 최종 부재력을 구해보겠습니다. 특히 모든 자유도를 그대로 유지하는 일반적인 방법뿐만 아니라, 구조물의 운동학적 관계를 이용하여 불필요한 자유도를 미리 제거한 축소된 자유도(Reduced DOF) 방식도 함께 적용해 보겠습니다. 이를 통해 같은 구조물이라도 자유도를 어떻게 정의하느냐에 따라 전체 강성행렬의 크기가 크게 줄어들고 계산과정 역시 상당히 간결해질 수 있음을 확인할 수 있습니다.

마지막에는 지난 응력법 풀이에서 얻었던 유연도행렬과 이번 변위법에서 얻은 강성행렬을 나란히 비교해 보겠습니다. 응력법에서 평형행렬을 통해 부재력의 관계를 정리하였다면, 변위법에서는 운동학적 관계를 나타내는 변위 적합행렬을 통해 부재변형과 절점변위를 연결합니다. 따라서 이번 문제의 목적은 단순히 정답을 다시 산정하는 데 있지 않습니다. 평형과 적합, 힘과 변위, 유연도와 강성이라는 구조해석의 서로 대응되는 개념들이 매트릭스 해석에서 어떻게 하나의 체계로 연결되는지 살펴보는 데 더 큰 의미가 있습니다.

 

https://oreostructure.tistory.com/256

건축구조기술사 127회 2-1 (유연도 매트릭스 풀이)

2.문제풀이

※ 기존 매트릭스 변위법 풀이과 축소된 매트릭스 변위법 풀이를 함께 보고 매트릭스의 크기가 어떻게 변화되는지 비교하시면서 학습하시기 바랍니다.

(1) 기존 매트릭스 변위법 풀이

해당 구조물은 1차 부정정 구조물이며 Global DOF 6개, Local DOF 7개로 구성 되어 있습니다.

① Sway DOF에 대한 Kinematic 관계

r1=1에 대한 Local DOF 관계는 다음과 같습니다.

r2=1에 대한 Local DOF 관계는 다음과 같습니다.

② 변위 적합 Matrix (B Matrix)의 구성

위의 Kinematic 관계를 통한 B Matrix 구성하게 되면 다음과 같습니다.

③ 부재 강성 매트릭스

④ 고정단 모멘트 및 하중 매트릭스

⑤ 전체 강성 매트릭스

Global DOF가 6개 이므로 6×6 Matrix로 구성됩니다.

⑥ 부재력 산정

(2) 축소된 매트릭스 변위법 풀이

명확하게 모멘트가 0인 부분에 대해서는 자유도를 무시해도 좋습니다. 변위가 발생하지 않는 것이 아니라 해당 지점에 대한 자유도를 잡지 않으면서 변위나 부재력에 대해 고려하지 않는 방식입니다. 대신 강성도를 이에 맞게 수정해야 합니다.

① 변위 적합 Matrix (B Matrix)의 구성

② 부재 강성 매트릭스의 구성

③ 고정단 모멘트 및 하중 매트릭스

④ 전체 강성 매트릭스

Global DOF가 3개 이므로 3×3 Matrix로 구성됩니다.

⑤ 부재력 산정

3. 마무리하며

(1) 기존 방식 vs 축소된 자유도 방식

강성도 매트릭스를 비교해보면 다음과 같습니다. 6×6에서 3×3로 매우 단순해진 것을 볼 수 있습니다.

(2) 변위법 매트릭스 vs 응력법 매트릭스

저번 응력법 매트릭스 포스팅을 참조해보면 구조물 전체 유연도 매트릭스를 산정 할 수 있습니다.

따라서 유연도 매트릭스는 다음과 같습니다. 

축소된 변위법과 비교하였을때 매트릭스의 크기가 더 줄어든 것을 볼 수 있습니다. (3×3 → 2×2)

 

(3) 가장 효율적인 Solution이란?

앞에서 살펴본 것처럼 변위법에서는 구조물의 운동학적 관계를 이용하여 자유도를 적절하게 축소하면 전체 강성 매트릭스를 6×6에서 3×3까지 줄일 수 있었습니다. 자유도가 줄어든다는 것은 단순히 매트릭스의 크기가 작아지는 것뿐만 아니라, 매트릭스를 구성하기 위해 입력해야 하는 값과 이후 계산해야 하는 항의 수 역시 감소한다는 것을 의미합니다. 입력해야 할 값이 많아질수록 부호나 행과 열의 위치를 잘못 입력할 가능성도 증가하므로, 가능한 한 독립적인 자유도만을 선정하여 문제의 크기를 줄이는 것은 실제 계산에서도 중요한 부분입니다.

그런데 지난 포스팅에서 다룬 응력법과 비교하면 또 다른 관점을 생각해 볼 수 있습니다. 이번 문제에서 축소된 변위법의 전체 강성 매트릭스는 3×3이었던 반면, 응력법에서는 최종적으로 다루어야 하는 구조물의 유연도 매트릭스를 2×2까지 줄일 수 있었습니다. 따라서 이번 문제만 놓고 본다면 오히려 응력법이 더 작은 매트릭스를 이용하여 구조물을 해석할 수 있으며, 입력해야 하는 값과 계산과정 역시 더 간결하게 구성할 수 있습니다.

이는 변위법과 응력법 가운데 어느 하나가 항상 더 우수하다고 단정하기 어렵다는 점을 보여줍니다. 변위법에서는 독립적인 운동학적 자유도의 수가 계산 규모를 결정하는 반면, 응력법에서는 구조물의 부정정 차수와 부정정력의 선정 방법이 계산 규모에 큰 영향을 미칩니다. 따라서 어떤 구조물에서는 변위법이 훨씬 간단할 수 있고, 또 다른 구조물에서는 응력법이 오히려 훨씬 작은 매트릭스로 문제를 정리할 수 있습니다.

특히 구조기술사와 같이 실제 계산기를 활용하여 풀이하는 시험에서는 단순히 매트릭스의 차수가 하나 작다는 사실만으로 해석법을 선택할 필요도 없습니다. 어떤 방법으로 평형행렬이나 변위 적합행렬을 더 빠르고 확실하게 구성할 수 있는지, 어떤 방법에서 부재 유연도 또는 강성관계를 더 쉽게 정리할 수 있는지, 그리고 본인이 어느 해석법에 더 익숙한지까지 함께 고려하는 것이 좋습니다. 작은 매트릭스가 일반적으로 계산상 유리한 것은 분명하지만, 그 매트릭스를 만들기 위한 과정이 지나치게 복잡하다면 반드시 더 좋은 풀이가 되는 것은 아닙니다.

따라서 이번 문제의 결론을 굳이 “응력법과 변위법 중 무엇이 더 좋은가?”라는 하나의 답으로 정할 필요는 없다고 생각합니다. 이번 구조물에서는 응력법이 더 작은 유연도 매트릭스로 정리된다는 장점이 있었지만, 구조물의 형태가 달라지면 상황은 얼마든지 바뀔 수 있습니다. 결국 문제의 구조적 특성, 부정정 차수와 자유도의 수, 그리고 풀이하는 사람의 숙련도에 따라 가장 효율적인 해석법을 선택하는 것이 중요합니다.

매트릭스 구조해석을 공부하는 목적도 특정 방법 하나를 모든 문제에 적용하기 위한 것이 아니라, 여러 해석법의 원리를 이해한 뒤 주어진 구조물을 보고 자신에게 가장 유리한 해석 경로를 선택할 수 있는 능력을 갖추는 것에 있다고 생각합니다.

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