2009년 7급 국가직 응용역학 4번 문제 (Sway 있을 때 모멘트 분배법)

1. 개요

이전에 2009년 7급 국가직 응용역학 4번 문제에 대해 다음과 같은 풀이를 남긴 적이 있습니다.
https://oreostructure.com/74

2009년 7급 국가직 응용역학 4번 문제 (등가절점하중 + 변위일치 해법)

https://oreostructure.com/76

2009년 7급 국가직 응용역학 4번 문제 (처짐각법 풀이)

동일한 문제를 앞선 포스팅에서는 변위일치법과 처짐각법으로 풀어보았습니다.
이번 글에서는 여기에 더하여 Sway(횡변위)가 존재하는 경우의 모멘트 분배법을 단계별로 정리해드리겠습니다.
많은 수험생분들이 “모멘트 분배법은 편리하다”라고 알고 계시지만,
Sway가 존재하는 경우에는 처리 과정이 상당히 번거로워진다는 사실을 잘 모르는 경우가 많습니다.
특히 실전 시험에서는 Sway 여부를 명확히 구별하지 않고 그대로 분배를 시도했다가
계산이 꼬이거나 부호가 뒤집혀 버려 시간 손실과 실수가 발생하기 쉽습니다.
이번 포스팅의 목적은 다음 두 가지입니다.

1. Sway가 있을 때 모멘트 분배법에 어떤 추가 연산이 필요한지,
   그리고 그 과정이 왜 번거로운지 직접 보여드리는 것.
2. 실제로 Sway가 존재하는 문제에서 모멘트 분배법을 사용하는 것이 시험에서 효율적인 전략인지,
   변위일치법·처짐각법과 비교해 판단할 수 있도록 하는 것.

가능하시다면 공책을 펴고, 본문에서 제가 안내하는 순서대로
하나씩 따라 풀어보시길 권합니다.
Sway가 있을 때와 없을 때의 차이가 얼마나 큰지,
그리고 어떤 방식이 실전에서 더 안정적으로 적용되는지 분명하게 체감하실 수 있을 것입니다.
특히 강조드리고 싶은 점은 다음 문장입니다.
“Sway가 있을 때와 없을 때를 구분하지 않고 모멘트 분배법을 적용하면,
거의 100% 오답으로 이어진다.”
이번 포스팅이 향후 시험장에서 올바른 판단을 내리는 데 큰 도움이 되기를 바랍니다.

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2. 문제 풀이

Sway가 있을 때 모멘트 분배법의 핵심은 다음과 같습니다.
첫째, Sway가 없다고 가정한 기준 모멘트 분배를 먼저 수행합니다.
즉, 각 절점의 FEM(Fixed End Moment)을 바탕으로 평소와 동일하게 모멘트를 분배하고,
Sway가 전혀 없는 경우의 모멘트 상태를 하나의 “기준해(基準解)”로 확보합니다.
둘째, Sway만 존재한다고 가정한 해석을 별도로 수행합니다.
이때 Sway는 사실상 보의 지점 침하(settlement)와 동일하게 취급할 수 있으므로,
지점침하가 발생한 경우의 모멘트 분배법을 적용하여
“Sway로 인해 발생하는 모멘트만”을 산정합니다.
셋째, 두 결과를 중첩하여 최종 모멘트를 구성합니다.
Sway는 외력이 아니라 변위로 발생하는 효과이므로,
선형 거동을 가정하면 기준해 + Sway해의 단순 합으로 표현할 수 있습니다.

다만 이 과정에서 가장 중요한 점이 있습니다.
Sway가 있는 경우에는 횡방향 반력이 존재하면 안 되며,
이를 만족하도록 ‘필요한 지점침하량(Δ)’을 계산해야 한다는 점입니다.
즉, Sway 해석을 통해 얻어진 모멘트로부터 전단력을 계산하고,
이 전단력이 0이 되도록 침하량을 조정해야만
실제 구조물의 변위 조건과 일치하게 됩니다.
정리하자면 다음과 같은 Flow가 Sway 문제의 핵심입니다.

1. Sway 없음 → FEM 기반 일반 분배
2. Sway만 있음 → 지점침하로 간주하여 분배
3. 전단력 조건(V = 0)을 만족하도록 침하량 보정
4. 두 결과를 중첩하여 최종 모멘트 산정

(1) Sway 가 없을 때의 기준해 산정

우선 부재 AB와 BE의 강성도 비율은 2:3이며 FEM은 25/2임을 알 수 있습니다.

 
위의 그림과 같은 상태에서 모멘트 분배법을 수행하여 지점별 반력과 전단력을 함께 산정해줍니다.
B 지점에 불균형 모멘트 25/2를 반대방향으로 가한 후 부재의 강성도 비율만큼 나눠 갖도록 합니다.

(2) Sway만 존재한다고 가정한 해석

지점 침하 Δ가 존재한다고 할때의 FEM은 아래 그림과 같습니다.

불균일 모멘트 6EIΔ/100을 반대방향으로 가하여 부재의 강성도 비율만큼 나눠갖도록 분배합니다.
그리고 마찬가지로 모멘트 분배법 후 지점별 반력과 전단력을 함께 산정해줍니다.

(3) 두 결과의 중첩

위에 서술한 대로 두 Case의 결과를 중첩하되 Sway에 대해 저항하는 전단력이 0이 되도록 하는 Δ를 산정해줘야 합니다.
아래 그림과 같이 두 결과의 전단력의 합을 0으로 하게 하는 Δ를 산정합니다.

Δ를 산정하였으면 두 결과를 더한값이 최종 절점 모멘트가 됩니다.
문제에서 물어본 B에서의 절점모멘트를 다음과 같이 산정해줍니다.

답은 이전 풀이와 동일하게 ③ 이 나옵니다.

3. 마무리하며

제가 앞에서 “공책을 펴고, 제가 안내하는 순서대로 한 단계씩 꼭 따라가 보시라”고 권해드린 이유는,
Sway가 있을 때와 없을 때를 명확히 구분하는 감각을 가지시고,
또 Sway가 있을 때 모멘트 분배법에서 어떤 점들을 추가로 고려해야 하는지를 확실히 이해하시길 바랐기 때문입니다.
그렇다면 질문을 하나 던져보겠습니다.

실제로 손계산으로 푸는 7급·9급 응용역학 시험에서,
Sway가 있는 구조물에 모멘트 분배법을 적용하는 것이
과연 효율적인 전략일까요?

포스팅에서 보셨듯이, 답은 “그렇지 않다”에 가깝습니다.
Sway가 있는 구조물에 모멘트 분배법을 적용하려면

• Sway가 없는 경우의 해석
• Sway만 있는 경우를 지점침하로 보는 해석
• Sway에 따른 전단력 조건(= V가 0이 되도록 조정)
• 두 결과의 중첩을 통한 최종 모멘트 산정

까지 여러 단계를 거쳐야 합니다.
각 단계마다 연산이 적지 않고, 전체적으로 보면 계산량이 상당히 많습니다.
따라서 이번 포스팅의 내용은

• 개념 학습용,
• 그리고 “Sway가 있을 때 모멘트 분배법은 이런 식으로 돌아가는구나”를 이해하기 위한 연습용 풀이

로는 꼭 한 번 따라 해보시기를 권하지만,
실제 7급·9급 시험장에서는 추천드리지 않는 방법입니다.