[응용역학] 지점침하 + 회전이 함께 작용한 단순보 문제풀이
문제
- 고정단 A가 시계방향으로 $0.002,\text{rad}$ 회전
- 힌지단 B가 20mm 침하하여 $B \to B'$
- 경간 $L=3,\text{m}$, $EI$ 일정, 자중 무시
- 구할 것: $B'$ 지점의 회전각 $\theta_B$ 크기 $[10^{-3},\text{rad}]$
단순히 공식만 쓰면?
처짐각법에 따라 힌지단 $B$에서의 모멘트는 0이므로,
$$
M_{BA} = \frac{4EI}{L}\theta_B + \frac{2EI}{L}\theta_A - \frac{6EI}{L^2}\Delta = 0
$$
여기에
- $\theta_A=0.002$,
- $\Delta=20,\text{mm}=0.02,\text{m}$,
- $L=3,\text{m}$
을 넣으면 곧바로
$$
\theta_B = \frac{3\Delta/L - \theta_A}{2} = 0.009 ,\text{rad}
$$
즉, 정답은 $9\times 10^{-3}$ rad (②번) 입니다.
하지만 여기서 끝내면 그냥 ‘공식 암기 → 대입 → 답’에 불과하죠.
이제 왜 이런 결과가 나오는지 하나씩 직관적으로 풀어보겠습니다.
단계별 이해
1. 지점침하가 없을 때
만약 $\Delta=0$이라면 식은 이렇게 단순해집니다.
$$
M_{BA}= \frac{4EI}{L}\theta_B + \frac{2EI}{L}\theta_A =0
$$
정리하면
$$
\theta_B = -\tfrac{1}{2}\theta_A
$$
즉, 한쪽을 $\theta_A$ 만큼 돌리면 반대 힌지단은 자동으로 -1/2배 만큼 반대 방향으로 회전하게 됩니다.
예를 들어 A가 $+0.002$ rad(시계방향) 돌면 B는 $-0.001$ rad(반시계방향) 돌게 되는 것이죠.
2. 지점침하의 효과
이번엔 B 지점이 $\Delta=20,\text{mm}$만큼 내려갑니다.
이때 보 전체는 $+\Delta/L$ 만큼 현회전(chord rotation)을 하게 됩니다.
- $\Delta=0.02$, $L=3$ → $\Delta/L \approx 0.0067$ rad
- 부호: 아래로 침하 → 보가 시계방향으로 기울어짐 → $+\Delta/L$
이를 처짐각법에 적용하면, 마치 A와 B의 회전각에 “$\Delta/L$을 빼준 것”처럼 계산할 수 있습니다.
즉,
$$
M_{BA}=\frac{4EI}{L}(\theta_B - \Delta/L)+\frac{2EI}{L}(\theta_A - \Delta/L)=0
$$
3. 관계식 도출
위 식을 정리하면
$$
\theta_B - \Delta/L = -\tfrac{1}{2}(\theta_A - \Delta/L)
$$
즉,
$$
\theta_B = \frac{3\Delta/L - \theta_A}{2}
$$
바로 이 식이 핵심 관계식입니다.
최종 계산
수치 대입:
- $\theta_A=0.002$
- $\Delta/L=0.02/3 \approx 0.0067$
$$
\theta_B = \frac{3\times 0.0067 - 0.002}{2}
= \frac{0.02 - 0.002}{2}
= 0.009 ,\text{rad}
$$
따라서 $B'$의 회전각은
$$
\boxed{9\times 10^{-3},\text{rad}}
$$
핵심 포인트 요약
- 기본 관계식: $\theta_B=-\tfrac{1}{2}\theta_A$ (지점침하 없을 때)
- 지점침하 효과: $\Delta/L$만큼의 현회전으로 치환
- 최종 식:
$$
\theta_B=\frac{3\Delta/L-\theta_A}{2}
$$
이 식만 기억하면 지점침하와 회전이 동시에 작용하는 문제도 5초 컷이 가능합니다.
덧붙임
여기서 사용한 현회전 → 현회전각 치환 개념은 지점침하가 섞여 나오는 문제에서 매우 강력하게 쓰입니다.
단순히 공식을 외우는 게 아니라, ‘현회전(Chord)과 현회전각’를 이해해두면 어떤 변형 조건이 나와도 빠르게 풀 수 있습니다.
현회전과 현회전각은 서로 부호가 반대이며 현회전각은 현으로 부터 접선까지의 각으로 정의됩니다.
그리고 다음과 같은 그림으로도 직관적으로 이해할 수 있습니다.
