2024년 5급 공채 구조역학 5번

1.개요

이번 문제의 구조물은 형식적으로는 2차 부정정 구조물입니다. 그러나 외력 F에 대해 구조물이 축력보다는 휨모멘트로 저항하며, 축방향 거동은 문제의 본질적인 지배 조건이 아닙니다. 따라서 소성해석 관점에서는 추가로 필요한 소성힌지 조건이 사실상 하나뿐인 구조물로 바라볼 수 있습니다. 결국 두 개의 소성힌지가 형성되면 구조물은 더 이상 외력에 저항할 수 없는 기구(Mechanism)가 되어 붕괴하게 됩니다.

이러한 소성붕괴 문제는 크게 상한계 해석(Upper Bound Analysis)과 하한계 해석(Lower Bound Analysis) 두 가지 방법으로 접근할 수 있습니다.

많은 수험생들은 소성붕괴하중을 구할 때 순차적으로 소성힌지 발생을 추적하는 하한계 해석에 익숙합니다. 실제 시험에서도 먼저 한 곳을 항복시켜 정정구조물로 만든 뒤, 다시 평형방정식을 세워 다음 소성힌지 발생 조건을 찾는 방식으로 접근하는 경우가 많습니다. 물론 이러한 방법 역시 정답에 도달할 수 있습니다. 그러나 시험장에서의 관점으로 보면 계산 과정이 길어지고, 경우에 따라서는 상당한 계산기 조작과 반복 연산이 필요하게 됩니다. 결국 계산 과정이 길어질수록 입력 실수와 검산의 어려움도 함께 증가하게 됩니다.

반면 상한계 해석은 가상변위의 법칙을 기반으로 하는 kinematic 접근법입니다. 처음에는 다소 낯설게 느껴질 수 있지만, 기본적인 독립 붕괴 메커니즘에 익숙해지면 오히려 훨씬 직관적이고 빠르게 문제를 해결할 수 있습니다. 특히 합성 메커니즘(Combined Mechanism)의 경우에는 매번 복잡한 변위관계를 새롭게 유도할 필요가 없습니다. 독립 메커니즘들을 적절히 조합한 후 내부일에서 서로 소거되는 항들을 파악하여 경우의 수만 검토하면 되기 때문입니다.

많은 사람들이 소성해석을 단순 계산 문제로 받아들입니다. 그래서 소성힌지가 하나 생기면 정정화하고, 다시 평형방정식을 세우고, 또 힌지가 생기면 구조계를 변경하여 계산하는 방식에 익숙합니다. 하지만 출제자의 입장에서 보면 소성해석의 본질은 계산이 아닙니다. 어떤 위치에 소성힌지가 형성될 것인가, 그리고 구조물이 어떤 붕괴 메커니즘을 형성할 것인가를 이해하고 있는지를 묻는 학문에 가깝습니다.

실제로 대부분의 소성해석 교재는 상한계 정리를 중심으로 내용을 전개합니다. 하한계 해석 역시 소개되지만, 이는 대개 상한계 정리와 하한계 정리가 동일한 결과를 준다는 유일성 정리(Uniqueness Theorem)를 설명하기 위한 목적이 강합니다. 따라서 단순히 하한계 해석을 이용한 계산기 스킬에 만족하기보다는 상한계 정리와 가상변위의 법칙이 왜 성립하는지, 그리고 구조물이 어떻게 움직이는지를 이해하는 것이 보다 본질적인 학습 방향이라고 생각합니다.

결국 소성해석은 힘의 평형을 반복적으로 계산하는 학문이라기보다, 자유도(DOF)와 변위관계(Kinematic Relation)를 통해 구조물의 붕괴 형태를 읽어내는 학문에 가깝습니다. 이러한 관점이 갖추어지면 소성해석뿐만 아니라 영향선, 가상변위의 법칙, 변위법, 직접강성도법과 같은 다양한 분야에서도 훨씬 넓은 시야를 가질 수 있게 됩니다.

2.문제 풀이

(1) 독립 붕괴 메커니즘

① Beam Mechanism

따라서 해당 붕괴 메커니즘의 소성 붕괴하중은 다음과 같습니다.

② Sway Mechanism

따라서 해당 붕괴 메커니즘의 소성 붕괴하중은 다음과 같습니다.

(2) 합성 붕괴 메커니즘

독립 붕괴하중 메커니즘에서 내부일에서 서로 상쇄되는 항이 없으므로 별도의 합성 붕괴 메커니즘이 존재 하지 않습니다.

(3) 최종 소성 붕괴하중

독립 붕괴매커니즘 두개 모두 소성힌지 2개 파괴조건을 만족합니다.

이 두 메커니즘 중에 가장 작은 붕괴하중값이 유일성 정리에 맞는 붕괴하중 값이 됩니다.

따라서 붕괴하중 값은 3MP/a가 됩니다.

그리고 구조물은 Sway Mechanism 파괴로 붕괴됩니다.

(4) C점의 처짐 산정

① BMD 산정

붕괴시 부정정력이 없기 때문에 평형방정식으로 절점 모멘트를 산정할 수 있으며
따라서 휨모멘트도 (BMD)를 작성하는 것은 매우 쉽습니다.

② 처짐 산정

AC 구간과 CD구간에서 가장 나중에 항복하는 구간은 CD 구간입니다. 

직접적으로 하중이 작용하지 않기 때문입니다.

따라서 D지점에서 소성힌지가 막 발생할때의 시점을 가상 하중의 법칙으로 쉽게 산정 할 수 있습니다.

3.마무리하며

많은 수험생들은 소성해석 문제를 접하면 먼저 평형방정식을 세우고, 소성힌지가 하나씩 발생하는 과정을 추적하는 하한계 해석부터 떠올립니다. 물론 그 방법도 정답에 도달할 수 있습니다. 하지만 구조물이 어떤 방식으로 움직이고 붕괴하는지를 먼저 생각한다면 훨씬 간단하고 직관적으로 문제를 해결할 수 있습니다.

위 문제 역시 독립 붕괴 메커니즘을 먼저 설정하고, 내부일과 외부일을 비교하는 것만으로 붕괴하중을 매우 빠르게 산정할 수 있었습니다. 특히 합성 메커니즘이 존재하지 않는다는 사실을 파악한 이후에는 사실상 두 개의 독립 메커니즘만 비교하면 되기 때문에 계산량도 크게 줄어들게 됩니다.

또한 많은 사람들이 소성붕괴 문제에서는 붕괴하중까지만 구하고 끝내는 경우가 많습니다. 하지만 실제로는 붕괴 시점의 모멘트 분포를 이용하면 처짐 역시 비교적 쉽게 산정할 수 있습니다. 결국 소성해석과 변위법은 서로 다른 분야가 아니라 구조물의 거동을 이해한다는 공통된 뿌리를 갖고 있다는 것을 보여주는 좋은 예시라고 생각합니다.

저는 과거 포스팅에서도 여러 번 이야기했지만, 응용역학에서 고득점을 만드는 것은 복잡한 계산 능력이 아니라 구조물을 단순화하여 바라보는 능력이라고 생각합니다. 어떤 구조물이든 자유도(DOF)를 파악하고, kinematic 관계를 설정하고, 구조물이 어떤 형태로 움직이려 하는지를 먼저 생각하는 습관을 들인다면 훨씬 적은 계산으로도 정확한 답에 도달할 수 있습니다.