건축구조기술사 92회 2-5 (절대 최대 휨모멘트의 접근)

1. 개요

건축구조기술사 92회 2교시 5번은 세 개의 롤러를 가진 이동체가 단순보 위를 통과할 때 절대최대휨모멘트의 위치와 크기를 구하는 문제입니다. 시중의 풀이는 일반적으로 바리뇽의 원리로 이동하중열의 합력 위치를 구한 뒤, 합력과 검토 대상 하중이 경간 중앙에 대해 대칭이 되도록 배치하여 절대최대휨모멘트의 위치를 결정합니다. 이번 풀이에서는 이러한 배치 조건을 곧바로 적용하지 않고, 먼저 일차 부정정인 상부 이동체의 롤러 반력을 최소일의 원리로 산정한 후 이를 이동 집중하중열로 치환하였습니다. 이어서 휨모멘트 영향선에 각 이동하중을 직접 대입하여 휨모멘트를 하중 위치의 함수로 구성하고, 극값 조건을 적용해 절대최대휨모멘트의 위치와 크기를 구하였습니다. 두 방법은 본질적으로 같은 최대조건에 도달하지만, 이번 포스팅에서는 영향선과 함수의 극값을 통해 검토 대상 하중과 합력이 경간 중앙에 대해 대칭을 이루는 배치가 왜 절대최댓값을 만드는지를 보다 직접적으로 확인하고자 합니다.

2. 문제풀이

(1) 이동하중군을 지지하는 상부보 해석

① 평형방정식

• 구조물 1차 부정정, V3를 미지력 취급

② 최소일의 정리

휨모멘트 산정시, 

총 변형에너지 U는 다음과 같습니다.

(2) 하부보 해석

절대 최대 휨모멘트는 하중이 가장 큰 7.5kN 아래에서 발생합니다.

해당지점의 모멘트를 뮐러-브레스라우의 원리를 활용하여 산정하면 다음과 같습니다.

Mmax가 최대가 되는 x를 산정하기 위해 극값을 산정하면 다음과 같습니다.

이를 Mmax 식에 역 대입시,

따라서 이동하중에 의한 절대최대휨모멘트는 37.0257kN이며 
좌측에서 첫번째 롤러가 A점으로 부터 3.44118m 만큼 떨어졌을때 두번째 롤러 아래에서 발생합니다. 

따라서 절대최대모멘트는 A점으로 부터 6.44118m 떨어진 지점에서 발생하게 됩니다.

3. 마무리하며

이번 문제는 단순히 이동하중의 위치를 조정하여 최대휨모멘트를 계산하는 것에 그치지 않고, 상부 이동체에서 하부 단순보로 하중이 전달되는 과정부터 살펴볼 필요가 있는 문제였습니다. 먼저 세 개의 롤러로 지지된 상부 이동체를 일차 부정정 구조물로 보고 최소일의 원리를 적용하여 각 롤러의 반력을 구한 뒤, 이를 이동 집중하중열로 치환하였습니다. 이후 시중의 풀이에서 주로 사용하는 바리뇽의 원리와 대칭 배치 조건을 바로 적용하는 대신, 휨모멘트 영향선으로 목적함수를 구성하고 극값 조건을 적용하여 절대최대휨모멘트의 위치를 직접 산정하였습니다. 그 결과 검토 대상 하중과 이동하중열의 합력이 경간 중앙을 기준으로 대칭을 이루어야 한다는 기존의 배치 조건이 단순히 암기해야 할 공식이 아니라, 영향선으로 표현된 휨모멘트 함수의 극값에서 자연스럽게 도출되는 결과임을 확인할 수 있었습니다. 서로 다른 풀이법은 별개의 요령이 아니라 같은 구조적 원리를 다른 관점에서 바라본 결과이며, 이러한 연결 관계를 이해한다면 보다 복잡한 이동하중 문제에서도 조건을 외우는 데 의존하지 않고 논리적으로 접근할 수 있을 것입니다.

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