2025년 서울시 7급 응용역학 3번

1.개요

합성단면의 허용휨모멘트를 구하는 문제를 보면, 먼저 환산단면을 만들고 단면2차모멘트와 단면계수를 계산해야 한다고 생각하기 쉽습니다. 하지만 응력분포를 먼저 파악하면 이러한 계산을 거치지 않고도 빠르게 정답에 도달할 수 있습니다. 이번 문제에서는 두 재료가 완전히 결합되어 있으므로 중립축에서 같은 거리에 있는 부분의 변형률이 같고, 응력은 탄성계수에 비례합니다. 이를 이용해 어느 재료가 먼저 허용응력에 도달하는지 판단한 뒤, 삼각형 응력분포를 합력으로 바꾸어 모멘트를 구해보겠습니다. 공식에 수치를 대입하는 풀이에서 한 걸음 더 나아가, 응력이 만드는 힘과 그 힘의 작용 위치를 읽으면 계산이 얼마나 간단해지는지 살펴보는 것이 이번 풀이의 핵심입니다.

2.문제풀이

(1) 빠른 풀이 방법

• A 지점의 휨강성이 3배이나, 4배나 더 많은 응력을 견딜 수 있으므로 항복은 B부분의 양끝단에서 발생합니다.

답은 ④번으로 매우 쉽게 나옵니다.

(2) 원리

① 응력 분포 측면도

• 단면은 평면변형을 하므로 같은 변형에 대해 A 부분은 3배의 응력을 받게 됩니다 (EA=3EB)
• B부분이 항복하면 A부분은 항복하기 전이며 (σB=15MPa , σA=45MPa < 60MPa)
  A부분이 항복하면 B부분은 이미 항복한 상황입니다. (σB=20MPa > 15MPa , σA=60MPa)
  따라서 B부분이 항복할 때가 최대 모멘트임을 알 수 있습니다.
• 이를 그림으로 표시하면 아래와 같습니다.

② 바리뇽의 원리 적용

• 삼각형 분포하중은 응력 곱하기 면적을 통해 단일 하중으로 치환할 수 있습니다.
• 삼각 분포하중은 삼각형 높이의 ⅔지점에 작용하는 것으로 볼 수 있습니다.
• 크기가 같고 방향이 서로 다른 하중과 하중간 거리가 주어졌으므로 힘×거리를 통해 우력을 산정할 수 있습니다.

③ 모멘트의 합산

• 단위 : MPa의 경우 10^6 N 이고, mm^2은 10^-6m 이므로 MPa와 mm^2을 곱하면 Nm가 됩니다.
• 여기에 kN를 만들려면 ÷1000을 하면 됩니다.
• 최종 모멘트는 각 부분별 모멘트를 합산하여 산정할 수 있으므로 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

(3) 환산단면 풀이 방법

• A지점에서의 탄성계수가 3배이므로 폭을 3배 넓혀줍니다.
  이를 수학적으로 이해하기 위해서는 휨강성도 (EI)를 동일하게 해주는 역할이라고 이해하시면 쉽습니다.

• B부분으로 단면적을 통일하였고 B부분의 항복응력은 15MPa이므로 다음과 같이 서술 할 수 있습니다.

3.마무리하며

이번 문제는 단면계수를 직접 산정하지 않고도, 응력분포와 힘의 모멘트만으로 최대 허용휨모멘트인 450 kN·m를 구할 수 있었습니다. 핵심은 탄성계수가 큰 재료가 반드시 먼저 허용응력에 도달하는 것은 아니라는 점입니다. 재료 A는 같은 위치의 재료 B보다 세 배의 응력을 받지만, 허용응력은 네 배이므로 재료 B가 먼저 한계에 도달합니다. 이때의 삼각형 응력분포를 합력과 작용 위치로 바꾸면, 이후 계산은 단순한 모멘트의 합으로 정리됩니다. 환산단면법도 익혀두어야 할 기본적인 방법이지만, 시험장에서는 문제의 조건을 보고 계산을 줄일 수 있는 길을 찾는 것이 중요합니다. 단면계수 공식과 함께 그 공식이 담고 있는 응력분포의 의미까지 이해한다면, 더 적은 계산으로 빠르고 정확하게 풀 수 있습니다.