2024년 서울시 7급 응용역학 4번 (단면의 핵 쉽게 구하기)

2024년 서울시 7급 응용역학 4번

삼각형 단면의 핵(Core) 계산 — Maxwell 상반처짐 정리 활용

문제를 풀다 보면, 단면의 핵(Core)을 묻는 문제가 나올때가 있습니다.
핵이란, 단면에 압축력이 작용할 때 단면 전체가 항상 압축 상태로 유지되도록 하는 하중 작용점의 영역입니다.
즉, 하중이 이 영역 내부에서 작용하면 인장 응력이 발생하지 않게 됩니다.
보통은 복잡한 공식이나 외워야 할 식이 많다고 느끼기 쉽지만,
맥스웰 상반처짐 정리(Maxwell Reciprocal Theorem)를 활용하면 불필요한 암기 없이도 매우 빠르고 직관적으로 풀이할 수 있습니다.

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문제

밑변이 (b), 높이가 (h)인 삼각형 단면의 면적을 (A)라 할 때, 단면의 핵의 면적은 얼마인가?
$$
① \tfrac{1}{16}A \quad
② \tfrac{1}{12}A \quad
③ \tfrac{1}{9}A \quad
④ \tfrac{1}{4}A
$$

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풀이 과정

(1) 휨 응력 해석

삼각형 단면에서 휨 응력은
$$
\sigma = \frac{M}{I} y
$$
단면 2차 모멘트는
$$
I = \frac{bh^3}{36}
$$
따라서
$$
\sigma = \frac{36My}{bh^3}
$$

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(2) 모멘트 계산

윗 꼭짓점에 압축력 (P)가 작용한다고 하면, 무게중심까지의 거리는 (2h/3).
$$
M = P \cdot \frac{2h}{3}
$$

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(3) 응력 정리

대입하면
$$
\sigma = \frac{36 \cdot P \cdot \tfrac{2h}{3} \cdot y}{bh^3}
= \frac{24Py}{bh^2}
$$

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(4) 평균 압축 응력과의 평형

전체 압축력에 의한 평균 응력은
$$
\sigma_c = \frac{P}{A} = \frac{2P}{bh}
$$
따라서 휨 응력과 같아지는 지점은
$$
\frac{24Py}{bh^2} = \frac{2P}{bh}
$$
$$
y = \frac{h}{12}
$$
즉, 중립축은 좌표축 원점에서 (h/12) 지점에 위치합니다.

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(5) 핵의 크기

삼각형 핵의 총 높이는
$$
3y = \frac{h}{4}
$$
삼각형 닮음비는 (4:1).
넓이비는 제곱 관계이므로,
$$
\frac{A_{\text{core}}}{A} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}
$$
따라서
$$
A_{\text{core}} = \frac{1}{16}A
$$
정답은 ① ($\tfrac{1}{16}A$).

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Maxwell 상반처짐 정리와의 연결

맥스웰 정리는 “한 점에 하중을 주었을 때 다른 점에서 생기는 처짐은, 두 점을 바꾸어도 동일하다”는 원리입니다.
이를 단면 핵 문제에 적용하면:

• 꼭짓점에 압축력을 작용시켜 중립축이 단면 경계를 스치는 순간을 찾으면,
• 반대로 경계에서 응력이 0이 되는 하중 작용점, 즉 핵의 경계가 바로 정의됩니다.

즉, 상반처짐 정리 덕분에 불필요한 공식 암기 없이, 꼭짓점 하중만으로 핵의 닮음비를 곧바로 구할 수 있습니다.

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핵심 포인트

• 공식 암기 X
• 맥스웰 정리만 알면 O
• 매우 빠르게 핵 계산 가능

따라서 시험장에서 “삼각형 핵은 전체의 1/16”이라는 결과를 손쉽게 도출할 수 있습니다.

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결론

삼각형 단면의 핵 면적은 전체 면적의 1/16입니다.
맥스웰 상반처짐 정리를 활용하면
복잡한 공식을 외우지 않고도,
빠르고 직관적으로 풀이가 가능하다는 점이 이 문제의 가장 큰 학습 포인트입니다.

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