자유진동 Free Vibration 과 고유진동수

자유진동 Free Vibration과 고유진동수 Natural Frequency

구조물이나 물체가 외력 없이 스스로 진동하는 현상을 자유진동 , Free Vibration 이라고 합니다.
즉, 한 번 변형시킨 뒤 손을 떼었을 때, 구조물이 자체의 탄성력과 관성력만으로 움직이는 진동을 말합니다.

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1. 자유진동의 기본 개념

스프링에 질량 $m$이 달려 있고, 스프링 상수가 $k$라고 합니다.
한 번 아래로 당겼다가 놓으면, 물체는 복원력과 관성력에 의해 왕복 운동을 하게 됩니다.

이때 운동방정식은 다음과 같습니다.

$$
m\ddot{x} + kx = 0
$$

여기서
$m$: 질량

$k$: 스프링 상수 (강성도, stiffness)
$x$: 변위
$\ddot{x}$: 가속도

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2. 고유진동수의 유도

위의 방정식은 조화진동(harmonic vibration) 형태의 해를 가집니다.

$$
x(t) = A \sin(\omega_n t) + B \cos(\omega_n t)
$$

여기서 $\omega_n$은 시스템의 고유진동수(natural frequency)로서 다음과 같이 정의됩니다.

$$
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}
$$

$\omega_n$: 고유진동수 (rad/s)
$f_n = \frac{\omega_n}{2\pi}$: 고유진동수 (Hz)

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3. 물리적 의미

고유진동수는 구조물의 강성($k$)과 질량($m$)의 조합으로 결정됩니다.

항목	값이 커지면	결과
강성도 $k$	구조물이 단단해집니다	진동수가 증가합니다
질량 $m$	구조물이 무거워집니다	진동수가 감소합니다

즉, 단단하고 가벼운 구조물일수록 빠르게 진동하고,
무겁고 유연한 구조물일수록 느리게 진동합니다.

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4. 자유진동의 예시

• 기계 구조물: 샤프트나 빔의 진동
• 건축 구조물: 건물의 고유진동 (지진 시 중요)
• 항공기, 자동차 부품: 날개, 서스펜션 등의 진동 모드

모든 구조물은 각자 고유한 진동수를 가지고 있으며,
이 값이 외부 가진 주파수(forced vibration frequency)와 일치하면
공진(Resonance)이 발생하여 큰 진동이 나타납니다.

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5. 핵심 정리

개념	설명	대표 식
자유진동 (Free vibration)	외력 없이 복원력과 관성력만으로 진동합니다	$m\ddot{x} + kx = 0$
고유진동수 (Natural frequency)	구조물이 자유진동할 때의 고유한 진동속도입니다	$\omega_n = \sqrt{k/m}$
공진 (Resonance)	외부 진동수와 고유진동수가 일치할 때 진폭이 급증합니다	—

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요약하면, 자유진동은 구조물의 본래 성질이 드러나는 운동이며,
고유진동수는 그 구조물이 자연스럽게 진동하려는 속도를 의미합니다.
따라서 구조 해석이나 진동 설계에서는 이 값을 정확히 파악하는 것이 중요합니다.