구조물의 자유도 (Degree of Freedom, DOF)

구조물의 자유도 (Degree of Freedom, DOF)

구조물 해석에서 자유도(Degree of Freedom, DOF)란
구조물이 자유롭게 움직일 수 있는 독립된 방향의 수를 말한다.

즉, 구조물이 몇 가지 방식으로 움직일 수 있는지를 나타내는 개념이다.

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1. 자유도의 기본 개념

하나의 절점(Joint)이 자유롭게 움직일 수 있는 방향은 최대 세 가지다.

1. 수평 방향 이동 ($x$ 방향)
2. 수직 방향 이동 ($y$ 방향)
3. 회전 ($\theta$ 방향)

예를 들어, 한 점이 $x$, $y$ 방향으로 이동할 수 있고 회전도 가능하다면
그 절점은 총 3개의 자유도를 가진다.

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2. 전체 자유도 (Global DOF)

Global DOF는 구조물 전체가 가질 수 있는 자유도의 수를 의미한다.

예를 들어 절점이 $N$개인 평면 구조물의 경우,
각 절점은 $x$, $y$, $\theta$의 세 가지 운동이 가능하므로

$$
\text{전체 자유도} = 3N
$$

하지만 실제 구조물에는 지점(support)이 존재하여
일부 운동이 구속된다. 따라서 해석에 사용되는 유효 자유도는 다음과 같다.

$$
\text{유효 자유도} = \text{전체 자유도} - \text{구속된 자유도}
$$

예를 들어 단순보의 양단을 보면
왼쪽 지점은 수직 이동이 구속되고,
오른쪽 롤러지점 역시 수직 이동이 구속된다.
하지만 두 지점 모두 회전은 가능하다.
이처럼 전체 자유도 중에서 구속된 방향을 제외한 것이 실제 해석에 사용된다.

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3. 부재 자유도 (Local DOF)

Local DOF는 구조물 전체가 아닌 하나의 부재(member) 기준에서 정의한 자유도이다.

부재의 양 끝단이 각각 어떻게 움직일 수 있는지를 독립적으로 생각할 때,
한 부재가 각 끝단에서 가지는 변위의 수를 의미한다.

예를 들어 평면 보(beam) 요소의 경우 다음과 같다.

절점	변위	자유도
i단	$u_i$ (수평), $v_i$ (수직), $\theta_i$ (회전)	3개
j단	$u_j$ (수평), $v_j$ (수직), $\theta_j$ (회전)	3개

따라서 한 부재는 총 6개의 Local DOF (3 + 3)를 가진다.

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4. Local DOF와 Global DOF의 관계

부재는 전체 구조물(Global) 안에 포함되어 있으므로
부재의 Local DOF는 전체 Global DOF와 연결되어야 한다.

이를 위해 사용하는 것이 변환행렬(Transformation Matrix)이다.

$$
[Global\ 변위] = [T] \times [Local\ 변위]
$$

여기서 $[T]$는 각 부재의 방향(기울기, 각도)에 따라
변위를 전역 좌표계로 변환해주는 행렬이다.
Local 좌표에서 계산된 결과를 Global 좌표계로 옮겨야
전체 구조의 평형 방정식을 세울 수 있다.

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5. 요약

구분	의미	예시	자유도 수
Global DOF	구조물 전체 절점 기준	전체 구조물의 총 움직임	$3N - (\text{구속 수})$
Local DOF	각 부재 기준	부재 양 끝단의 움직임	보요소의 경우 6개 (3+3)

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6. 개념의 차이

Global DOF는 구조물 전체를 보는 시점이다.
즉, 구조물이 전체적으로 어디를 어떻게 움직일 수 있는지를 나타낸다.

Local DOF는 각 부재를 기준으로 본다.
즉, 해당 부재의 양 끝단이 어떤 방향으로 움직일 수 있는지를 나타낸다.

두 개념은 서로 다른 기준에서 정의되지만,
해석 과정에서는 Local 좌표계를 Global 좌표계로 변환하여
전체 구조물의 평형을 구하는 것이 핵심이다.

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7. 예시

단순보 하나를 생각해보자.

• 절점 2개 (A, B)
• 각 절점은 수평, 수직, 회전 가능 → 총 6개의 전체 자유도
• 단, 두 지점 모두 수직 이동이 구속됨
  → 실제 유효 자유도는 2개 (A의 회전, B의 회전)

결국 자유도 계산은 구조물 해석의 첫 단계이며,
전체 거동을 결정하는 가장 기초적인 개념이다.