가상 변위의 법칙과 적용 -2023년 7급 국가직 예시

가상변위의 법칙, 이렇게 이해하면 쉽다

가상변위의 법칙 -Principle of Virtual Work은
구조역학에서 “외력과 내부력이 평형을 이룰 때, 아주 작은 가상의 변위를 주면 외부일과 내부일의 합이 0이 된다”
는 원리를 말한다.

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1. 개념부터 간단히 정리하자

가상의 변위 즉,virtual displacement란
실제로 구조물이 움직이는 변위가 아니라,
“만약 이 구조물이 아주 조금 움직인다면?” 하고
가정하는 가상의 미소한 변위를 뜻한다.

이때 구조물이 평형 상태라면
그 작은 변위에 의한 외부의 일(외력 × 변위)과
내부의 일(내력 × 변위)은 서로 같아야 한다.

즉,

$ \text{외부일} = \text{내부일} $

또는

$ \sum (P_i \delta_i) = \sum (\sigma_j \varepsilon_j V_j) $

이 관계가 바로 가상변위의 법칙 - Principle of Virtual Work 이다.

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2. “일의 평형”이라는 관점으로 보기

가상변위의 법칙은 힘의 평형을
일의 평형 ,work equilibrium 으로 바꿔 표현한 것이다.

힘의 평형식은 다음과 같다.

$ \sum F = 0, \quad \sum M = 0 $

하지만, 가상변위의 법칙은
‘힘이 평형이면, 가상의 변위에 대한 일도 평형이다’라고 바꾼 것이다.

즉,

$ \sum (F_i \times \delta_i) = 0 $

이 식이 바로 ‘힘의 평형’을 ‘일의 형태’로 표현한 것이다.

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3. 한 줄로 요약하면

“평형 상태에서 아주 작은 변위를 줄 때, 외력이 한 일과 내부력이 한 일이 서로 같다.”

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4. 예를 들어보자

스프링에 하중이 작용할 때도 이 법칙이 성립한다.

• 외부일 : $ P \times \delta $
• 내부일 : $ \frac{1}{2} k \delta^2 $ (스프링이 변형되며 내부적으로 저장한 에너지)

평형 시점에서는

$ P \times \delta = \frac{1}{2} k \delta^2 $

이때 $ P = k \delta $, 즉 후크의 법칙이 자연스럽게 나온다.
결국 후크의 법칙도 가상변위의 법칙에서 출발한다고 볼 수 있다.

 

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5. 실전 적용 Ⅰ -2023년 7급 응용역학 9번

 

빠른 풀이 방법 : 

① 50 kN 작용 지점에서의 처짐 $\delta$

$$\delta = \frac{50}{\frac{EA}{6}\times\sin^2(30^\circ)\times2+\frac{EA}{3}}=
\frac{50}{\frac{EA}{6}\times\frac{5}{2}}=\frac{3}{500}$$

② AD의 변형률

$$\epsilon_{AD}=\frac{\delta\times\sin(30^\circ)}{6}=\frac{1}{2000}$$

 

빠른 풀이의 이해를 위해 가상변위의 법칙을 활용하면 아래와 같습니다.

 

 

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5. 실전 적용 Ⅱ -2023년 7급 응용역학 9번

빠른 풀이 방법 : 

① 16.2 kN 작용 지점에서의 처짐 $\delta$

$$\delta=\frac{16.2}{\frac{EA}{2}\times(\frac{2}{7})^2+\frac{EA}{4}\times(\frac{4}{7})^2}=\frac{16.2}{(\frac{2}{49}+\frac{4}{49})\times(EA)}=\frac{16.2}{\frac{6}{49}\times210\times3}=\frac{21}{100}$$

 

빠른 풀이의 이해를 위해 가상변위의 법칙을 활용하면 아래와 같습니다.