EA가 무한할 때의 자유도와 종속 자유도

구조해석에서 자유도(Degree of Freedom, DOF)는 구조물이 독립적으로 움직일 수 있는 방향의 수를 의미한다.
그러나 구조물의 일부 부재가 매우 큰 축강성(EA)을 가질 경우, 일부 자유도는 서로 종속 관계를 이루게 된다.
이 글에서는 축강성이 무한할 때 자유도에 어떤 변화가 생기는지, 그리고 종속 자유도가 어떤 의미를 가지는지를 정리한다.

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1. EA가 무한하다는 뜻

축강성은 부재가 축방향 변형을 얼마나 억제하는지를 나타내는 값으로,
$$ EA = E \times A $$
이다.
여기서 $E$는 탄성계수, $A$는 단면적이다.

$EA$가 무한대라는 것은 부재가 축방향으로 신장되거나 압축될 수 없다는 뜻이다.
즉, 부재의 양 끝단 사이 길이가 절대 변하지 않는 상태이다.

$$
\delta = \frac{N L}{EA} \rightarrow 0
$$

따라서 부재의 두 절점은 항상 동일한 축변위를 갖게 된다.

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2. 축강성이 무한할 때의 자유도 변화

일반적인 부재는 양 끝단에서 여러 방향의 자유도를 갖지만,
EA가 무한한 부재는 축방향 변위가 독립적으로 존재할 수 없다.

즉, 한쪽 절점의 축방향 변위가 결정되면 다른 쪽 절점의 변위도 자동으로 결정된다.
이때 한쪽 절점의 변위는 독립 자유도, 다른 한쪽의 변위는 종속 자유도가 된다.

결국 구조물 전체의 자유도 수는 다음과 같이 감소한다.

$$
\text{유효 자유도} = \text{전체 자유도} - \text{종속 자유도 수}
$$

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3. 종속 자유도의 개념

EA가 무한한 부재의 양 끝단을 각각 i, j라 하면,
두 절점의 축방향 변위는 다음 관계를 만족한다.

$$
u_j - u_i = 0
$$

이 관계식은 두 변위가 독립적이지 않고 서로 종속되어 있음을 의미한다.
즉, $u_j$는 $u_i$의 함수로 표현할 수 있으며 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$
u_j = u_i
$$

또는 행렬 형태로 정리하면

$$
{u_d} = [R]{u_i}
$$

여기서

• ${u_d}$ : 종속 변위
• ${u_i}$ : 독립 변위
• $[R]$ : 두 변위 사이의 관계를 나타내는 행렬이다.

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4. 해석에 미치는 영향

해석 과정에서 종속 자유도가 존재하면, 전체 강성행렬은 이를 반영해야 한다.
이를 위해 전체 변위 벡터 ${u}$를 독립 자유도만으로 다시 표현한다.

$$
{u} = [R]{u_i}
$$

이를 원래의 강성방정식
$$
[K]{u} = {F}
$$
에 대입하면 다음과 같은 형태가 된다.

$$
[R]^T[K][R]{u_i} = [R]^T{F}
$$

이 식을 이용하면 종속 자유도를 제거한 상태에서도 정확한 구조해석이 가능하다.

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5. 단순 예시

두 절점 A와 B를 잇는 직선 부재가 있다고 하자.
이 부재의 축강성이 무한하다고 가정하면,
A와 B의 축방향 변위는 항상 같아야 한다.

$$
u_A = u_B
$$

즉, A가 1mm 이동하면 B도 정확히 같은 방향으로 1mm 이동한다.
이 경우 두 절점의 변위는 독립적이지 않으며,
두 절점을 하나의 절점처럼 다루는 것과 동일한 결과가 된다.

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6. 해석상의 정리

구분	내용
EA가 무한	부재가 축방향으로 변형되지 않음
결과	부재 양 끝단의 축방향 변위가 동일
독립 자유도	해석에 직접 포함되는 자유도
종속 자유도	독립 자유도에 의해 자동으로 결정되는 자유도
해석 시 처리	종속 자유도는 제거하거나 독립 자유도로 환산

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7. 결론

축강성이 무한한 부재는 두 절점의 축방향 변위를 동일하게 만들며,
그 결과 하나의 자유도가 다른 자유도에 종속된다.
이러한 경우 해석상 불필요한 종속 자유도를 제거함으로써
모델을 단순화하고 계산의 효율성을 높일 수 있다.

결국 EA가 무한한 부재는 구조물 내에서 하나의 절점처럼 작용하며,
전체 자유도 수를 감소시키는 역할을 한다.