보의 처짐 - 이중적분과 공액보법

공액보법(Conjugate Beam Method)과 이중적분법의 관계

보의 처짐과 기울기를 구하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.
그중 공액보법(Conjugate Beam Method)은 이중적분법(Double Integration Method)과 밀접한 관계를 가지며,
이중적분 과정을 보다 직관적으로 이해할 수 있도록 만들어진 개념적 방법입니다.

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1. 기본 개념

단면 2차모멘트 $I$와 탄성계수 $E$를 가진 보의 휨 방정식은 다음과 같습니다.

$$
EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x)
$$

여기서
$M(x)$ : 실제보의 휨모멘트
$y(x)$ : 처짐입니다.

이를 두 번 적분하면 다음과 같은 관계를 얻습니다.

$$
\frac{dy}{dx} = \theta(x) = \int \frac{M(x)}{EI} , dx
$$

$$
y(x) = \int \theta(x) , dx = \int \left( \int \frac{M(x)}{EI} , dx \right) dx
$$

이 식이 바로 이중적분법(Double Integration Method)의 기본식입니다.

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2. 이중적분법의 한계

이중적분법은 원리가 명확하지만,
적분 상수를 구하기 위해 각 지점의 경계조건(기울기나 처짐 조건)을 일일이 적용해야 합니다.
또한 보가 여러 구간으로 나뉘거나 하중이 복잡한 경우에는 계산이 번거로워질 수 있습니다.

이때 공액보법을 이용하면 이중적분을 직접 수행하지 않고도
기울기와 처짐을 상대적으로 간단하게 구할 수 있습니다.

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3. 공액보법의 원리

공액보법은 실제보(real beam)와 공액보(conjugate beam)를 대응시켜 생각하는 방법입니다.
핵심 아이디어는 다음과 같습니다.

• 실제보의 휨모멘트 도형을 $M/EI$ 형태로 만든다.
• 이 도형을 공액보의 하중으로 간주한다.
• 공액보의 전단력과 휨모멘트가 실제보의 기울기와 처짐에 각각 대응한다.

즉,

실제보	공액보
하중 $w(x)$	$M/EI$ 도형
전단력 $V$	기울기 $\theta$
휨모멘트 $M$	처짐 $y$

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4. 공액보의 지점 조건

공액보의 지점 조건은 실제보의 지점 조건과 반대가 됩니다.

실제보의 지점 조건	공액보에서의 대응 조건
단순지지(support)	단순지지
고정단(fixed end)	자유단(free end)
자유단(free end)	고정단(fixed end)

예를 들어 실제보의 한쪽 끝이 고정단이라면,
공액보에서는 그 끝이 자유단으로 바뀝니다.

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5. 공액보법의 계산 절차

1. 실제보의 $M/EI$ 도형을 구합니다.
2. 이 도형을 공액보의 하중분포로 봅니다.
3. 공액보의 전단력 $V$를 구하면 실제보의 기울기 $\theta$가 됩니다.
4. 공액보의 휨모멘트 $M$을 구하면 실제보의 처짐 $y$가 됩니다.

즉,

$$
\theta = V_{\text{conjugate}}, \qquad y = M_{\text{conjugate}}
$$

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6. 이중적분법과의 관계

이중적분법은 다음과 같이 표현됩니다.

$$
y = \int \int \frac{M(x)}{EI} , dx , dx
$$

공액보법은 이 적분 과정을 “$M/EI$ 도형을 하중으로 받는 가상의 보”로 바꾸어 해석하는 것입니다.
따라서 이중적분법의 과정을 한 번의 정적 해석 문제로 변환한 방식이라고 할 수 있습니다.

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7. 정리

구분	이중적분법	공액보법
접근 방식	$M/EI$를 두 번 적분	$M/EI$를 하중으로 하는 가상보 해석
계산량	적분식과 상수 계산이 많음	정정식으로 간단히 계산 가능
해석 대상	실제보의 변위 함수	공액보의 전단력과 모멘트
결과 대응	$\theta = dy/dx$, $y$	$\theta = V_c$, $y = M_c$

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요약하자면, 공액보법은 이중적분법의 원리를 그대로 유지하면서
정적 해석 관점에서 변위와 기울기를 구할 수 있도록 변환한 해석 방법입니다.
즉, 이중적분법을 보다 시각적이고 간단하게 이해할 수 있는 방법이라고 할 수 있습니다.