2024년 서울시 7급 응용역학 5번 (충격 계수를 꼭 암기해야 하나요?)

[응용역학/스프링 충격] 충격계수 빠른 풀이 vs. 공식 없이 풀기

이번 문제는 다음과 같습니다.

중량 ($W=1{,}000\ \mathrm{kN})인 물체가 높이 (h=10\ \mathrm{mm}$)에서 낙하하여 스프링에 충격을 가할 때, 스프링의 충격계수 ($\delta_{\max}/\delta_{st}$)는 얼마인가?
(단, 스프링 상수 ($k=5\times10^{4}\ \mathrm{kN/m}$), 정적변위는 ($\delta_{st}$), 최대동적변위는 ($\delta_{\max}$).)

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1. 충격계수를 암기하고 있을 때 (빠른 풀이)

이 상황의 표준 공식은 다음과 같습니다.
$$
\frac{\delta_{\max}}{\delta_{st}} = 1 + \sqrt{1 + \frac{2h}{\delta_{st}}}
$$
여기서
$$
\delta_{st} = \frac{W}{k}
$$

계산

• ($\delta_{st} = \tfrac{1000}{5\times10^{4}} = 0.02\ \mathrm{m} = 20\ \mathrm{mm}$)
• ($\tfrac{2h}{\delta_{st}} = \tfrac{2 \times 10}{20} = 1$)

따라서
$$
\frac{\delta_{\max}}{\delta_{st}} = 1 + \sqrt{1+1} = 1 + \sqrt{2}
$$
👉 정답: ($1+\sqrt{2}$)

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2. 충격계수를 암기하지 않아도 풀기 (에너지 보존법)

공식을 모른다고 해도, 에너지 보존식을 세우면 됩니다.
$$
W(h+\delta_{\max}) = \tfrac{1}{2}k\delta_{\max}^{2}
$$
여기서 ($\delta_{st} = \tfrac{W}{k}$)를 대입하면
$$
\delta_{st}(h+\delta_{\max}) = \tfrac{1}{2}\delta_{\max}^{2}
$$
양변을 ($\delta_{st}^{2}$)로 나누고, ($X = \tfrac{\delta_{\max}}{\delta_{st}}$)로 치환하면
$$
\frac{h}{\delta_{st}} + \frac{\delta_{\max}}{\delta_{st}}
= \tfrac{1}{2}\left(\frac{\delta_{\max}}{\delta_{st}}\right)^{2}
$$
즉,
$$
X^{2} - 2X - 2\frac{h}{\delta_{st}} = 0
$$

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수치 대입

• ($\tfrac{h}{\delta_{st}} = \tfrac{10}{20} = 0.5$)

따라서
$$
X^{2} - 2X - 1 = 0
$$
해는
$$
X = 1 \pm \sqrt{1+1} = 1 \pm \sqrt{2}
$$
여기서 (X>0)이므로
$$
X = 1 + \sqrt{2}
$$

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결론

• 암기법: 공식만 기억하면 10초 컷
• 비암기법: 에너지 보존 → 2차방정식 유도 → 같은 답
• 최종 정답:
  👉 ($\dfrac{\delta_{\max}}{\delta_{st}} = 1+\sqrt{2}$)

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