2024년 서울시 7급 응용역학 6번 (쉬운 풀이 와 처짐각법 비교)

 

위 그림처럼 A–B–C 보에서 B는 힌지, C는 핀 지점, A는 고정단이다.  
구간 BC 길이 L 전장에 균등하중 w가 작용할 때,  
B점 좌측 처짐각 $\theta_{BL}$과 우측 처짐각 $\theta_{BR}$의 비  
$\left|\dfrac{\theta_{BL}}{\theta_{BR}}\right|$을 구하라.

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1️⃣ 쉬운 풀이법 (중첩법)

핵심은 **정정 구조**라는 점이다.  
즉, BC는 단순보로서 지점반력은 지점처짐과 무관하다.

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 (1) BC의 지점반력

$$
R_B = R_C = \frac{wL}{2}
$$

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 (2) 좌측(캔틸레버 AB) – 자유단 집중하중 P=R_B

- 자유단 기울기

$$
\theta_{BL} = \frac{PL^2}{2EI}
= \frac{\left(\frac{wL}{2}\right)L^2}{2EI}
= \frac{wL^3}{4EI}
$$

- 자유단 처짐 (즉, B점의 침하량)

$$
\delta_B = \frac{PL^3}{3EI}
= \frac{\left(\frac{wL}{2}\right)L^3}{3EI}
= \frac{wL^4}{6EI}
$$

---

### (3) 우측(BC 단순보) – w와 지점침하의 중첩

- 전장 등분포하중에 의한 좌지점 기울기

$$
(\theta_{BR})_w = \frac{wL^3}{24EI}
$$

- 왼쪽 지점이 $\delta_B$ 만큼 **아래로** 움직이면,  
좌지점 기울기 변화는

$$
(\theta_{BR})_\delta = -\frac{\delta_B}{L}
$$

- 따라서 합성하면

$$
\theta_{BR} = \frac{wL^3}{24EI} - \frac{\delta_B}{L}
= \frac{wL^3}{24EI} - \frac{1}{L}\cdot\frac{wL^4}{6EI}
= -\frac{wL^3}{8EI}
$$

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 (4) 비율 계산

$$
\left|\frac{\theta_{BL}}{\theta_{BR}}\right|
= \frac{\frac{wL^3}{4EI}}{\frac{wL^3}{8EI}} = 2
$$

✅ 정답: 2

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 2️⃣ 처짐각법으로 풀기 

처짐각법은 시험장에서 비효율적이지만,  
구조 거동 이해를 돕기 위해 함께 정리합니다.

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 (1) 구성방정식 (슬로프-디플렉션)

$$
K = \frac{2EI}{L}, \quad \phi = \frac{\delta}{L}
$$

- AB 부재 (분포하중 없음, A는 고정단 $\theta_A=0$)

$$
M_{AB} = K(\theta_{BL} - 3\phi), \quad
M_{BA} = K(2\theta_{BL} - 3\phi)
$$

- BC 부재 (전장 등분포하중 w)

$$
M_{BC} = K(2\theta_{BR} + \theta_C + 3\phi) - \frac{wL^2}{12}
$$
$$
M_{CB} = K(2\theta_C + \theta_{BR} + 3\phi) + \frac{wL^2}{12}
$$

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 (2) 경계조건 및 평형

- 내부 힌지 B : $M_{BA}=0,\ M_{BC}=0$  
- 핀 지점 C : $M_{CB}=0$  
- 절점 B의 전단 평형 :

$$
\frac{-M_{AB} - M_{BA} + M_{BC} + M_{CB}}{L} = \frac{wL}{2}
$$

---

(3) 단계별 대입 계산

① $M_{BA}=0$ →  
$$
2\theta_{BL} - 3\phi = 0 \Rightarrow \boxed{\theta_{BL} = \frac{3}{2}\phi}
$$

② $M_{BC}=0$ →  
$$
2\theta_{BR} + \theta_C + 3\phi = \frac{wL^3}{24EI}
$$

③ $M_{CB}=0$ →  
$$
2\theta_C + \theta_{BR} + 3\phi = -\frac{wL^3}{24EI}
$$

④ 전단 평형식 →  
$$
-\theta_{BL} + \theta_{BR} + \theta_C + 4\phi = \frac{wL^3}{12EI}
$$

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 (4) 연립 및 해 구하기

- (②)-(③) →  
$$
\boxed{\theta_{BR} - \theta_C = \frac{wL^3}{12EI}}
$$

- (②)+(③) →  
$$
\boxed{\theta_{BR} + \theta_C = -2\phi}
$$

- (④)에 (①) 대입 :  
$$
-(\tfrac{3}{2}\phi) + (\theta_{BR} + \theta_C) + 4\phi = \frac{wL^3}{12EI}
$$
$$
(\theta_{BR} + \theta_C) + \tfrac{5}{2}\phi = \frac{wL^3}{12EI}
$$

위 식에 (θ_BR + θ_C = -2φ) 대입 :  
$$
-2\phi + \tfrac{5}{2}\phi = \frac{wL^3}{12EI}
$$
$$
\boxed{\phi = \frac{wL^3}{6EI}} \Rightarrow \boxed{\delta = \frac{wL^4}{6EI}}
$$

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 (5) 나머지 미지수 계산

$$
\theta_{BL} = \frac{3}{2}\phi = \frac{wL^3}{4EI}
$$
$$
\theta_{BR} = -\frac{wL^3}{8EI}, \quad \theta_C = -\frac{5wL^3}{24EI}
$$

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 (6) 최종 비율

$$
\left|\frac{\theta_{BL}}{\theta_{BR}}\right|
= \frac{\frac{wL^3}{4EI}}{\frac{wL^3}{8EI}} = 2
$$

✅ 정답 : 2

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 3️⃣ 정리 포인트

- 게르버보는 **정정 구조**이므로 $R_B = \dfrac{wL}{2}$는 강성과 무관하다.  
- 그러나 **우측 처짐각**은 **지점침하 영향** $(-\dfrac{\delta_B}{L})$을 포함해야 한다.  
- 이를 누락하면 오답(6)이 된다.  
- 처짐각법으로 풀면 중첩법 결과와 완전히 일치한다.

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