2024년 서울시 7급 응용역학 6번 (전단 중심 쉽게 풀자!)

[응용역학 풀이] 얇은 두께 단면의 전단중심 문제 (전형적 C형 단면)

이번에는 얇은 두께 단면(open section)의 전단중심(shear center)을 구하는 전형적인 문제를 풀어보겠습니다.

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📌 문제 조건

• 플랜지 폭: b = 50 mm
• 웨브 높이: h = 200 mm
• 두께: t = 6 mm

구할 것: 웨브 중앙선으로부터 전단중심까지의 거리 e

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1. 단면 2차 모멘트 계산

단면의 2차 모멘트 $I$는 웹과 플랜지를 고려하여 다음과 같이 구합니다.
$$
I = \frac{1}{12} t h^3 + (b \cdot t)\left(\frac{h}{2}\right)^2 \cdot 2
$$
수치 대입:
$$
I = \frac{1}{12}\cdot 6 \cdot 200^3 + (50 \cdot 6)\cdot (100)^2 \cdot 2
$$
$$
I = 4,000,000 + 6,000,000 = 10,000,000 \ \text{mm}^4
$$

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2. 전단흐름 기본식

전단흐름은 다음과 같습니다.
$$
f = \frac{VQ}{I}
$$
여기서 $Q$는 단면계수(1차 모멘트).
플랜지와 웨브가 만나는 지점에서:
$$
Q = b \cdot t \cdot \frac{h}{2} = 50 \cdot 6 \cdot 100 = 30,000
$$
따라서,
$$
f = \frac{V \cdot 30,000}{10,000,000} = \frac{3V}{1000}
$$

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3. 플랜지에서 전단흐름

$$
q = f \cdot b = \frac{3V}{1000} \cdot 50 = \frac{3V}{20}
$$

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4. 전단흐름에 의한 모멘트

상단 플랜지에서:
$$
M_{top} = q \cdot \left(\frac{h}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}
$$
$$
M_{top} = \frac{3V}{20} \cdot 100 \cdot \frac{1}{2} = \frac{15V}{2}
$$
하단 플랜지에서도 동일하게 15V/2 발생.
따라서 전체 모멘트:
$$
M = \frac{15V}{2} + \frac{15V}{2} = 15V
$$

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5. 전단중심 위치 e

조건식:
$$
M = V \cdot e
$$
따라서,
$$
15V = V \cdot e \quad \Rightarrow \quad e = 15 \ \text{mm}
$$

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✅ 정답

• e = 15 mm
• 선택지: ① 15