2007년 5급 공채 응용역학 1번 (최대 처짐 산정)

1.개요

구독자 분의 질문에 따라 해당 문제의 풀이를 작성해보았습니다.
처음 문제를 접하면 단순한 보 문제처럼 보이지 않고, 원통형 탱크의 벽체 거동 자체를 어떻게 바라봐야 하는지에 대해 고민하게 되는 문제라고 생각합니다. 원통형 탱크나 압력용기 같은 쉘(shell) 구조물은 일반적인 보 구조물과는 다르게 얇은 곡면 구조가 하중을 전달하게 되며, 이상적인 경우에는 원주방향 및 축방향의 막응력(membrane stress)을 통해 효율적으로 힘을 전달합니다. 이러한 경우를 막지배(membrane dominated) 거동이라고 합니다.

하지만 이번 문제에서는 상판과 하판이 매우 강체이며 벽체와 일체로 연결되어 있다는 조건이 존재합니다. 즉 벽체가 내부 수압에 의해 자유롭게 팽창하지 못하고 위아래에서 회전과 변형이 구속되게 됩니다. 따라서 단순히 전체가 늘어나는 막거동보다는 가운데 부분이 불룩하게 튀어나오려는 휨 형상이 발생하게 됩니다. 실제로 순수 막거동만 고려한다면 수압이 가장 큰 바닥 부근에서 최대 변위가 발생해야 하지만, 본 문제에서는 중간 높이 부근에서 최대 변위가 발생하게 되므로 경계조건에 의한 휨효과가 크게 작용하고 있음을 알 수 있습니다.

저 역시 처음에는 실제 쉘(shell) 이론의 지배방정식(governing equation)이나 유한요소해석(FEM) 관점으로 접근해야 하는 문제인지 고민을 했습니다. 실제 쉘 구조물은 막응력과 휨응력이 함께 작용하는 혼합(mixed) 거동을 보이는 경우가 많기 때문입니다. 다만 시험 문제의 의도를 생각해보면 복잡한 쉘 이론 전체를 요구하기보다는, 벽체의 변형 형상과 최대 변위 위치를 직관적으로 이해할 수 있는지를 묻고 있다고 판단하였습니다. 따라서 본 문제는 벽체를 세로 방향으로 잘라낸 하나의 strip으로 생각하고, 이를 고정단-고정단 보의 휨거동으로 이상화하여 풀이하는 것이 출제 의도에 가장 부합한다고 판단하여 해당 방식으로 정리해보았습니다.

2. 문제풀이

삼각 분포하중에서의 고정단에서의 모멘트 (Fixed End Moment)는 wL^2/20 , wL^2/30 으로 산정될 수 있습니다.

따라서 아래 그림과 같이 표현 할 수 있습니다.

그리고 각 지점에서의 수직 반력은 다음과 같이 산정 될 수 있습니다.

따라서 A지점에서 x 만큼 떨어진 곳에서의 모멘트 M(x)를 산정하게 되면 다음과 같습니다.

처짐곡선식은 M/EI을 이중적분하면 산정되며 이때 회전각과 처짐이 모두 0인 고정단 조건으로 인하여 적분상수는 모두 0이 됩니다.

최대 처짐이 발생하는 지점은 처짐곡선식을 미분하여 0이 되는 극값을 찾아보면 됩니다.

한편 5x^3-9H^2x+4H^3 부분을 인수분해 하면

따라서 x=H가 아닌 해를 찾기 위하여 뒤의 2차 방정식 부분에 대해 근의 공식을 사용하면 다음과 같이 산정됩니다.

따라서 최대 처짐은 상단에서 부터 0.524695H 인 지점에서 발생하게 됩니다.

3.마무리하며

역학을 공부하다 보면 때때로 너무 깊은 영역까지 들어가려는 분들을 보게 됩니다. 실제로 시험 준비 과정에서 두꺼운 벽 압력용기의 governing equation을 극좌표계로 직접 유도하는 것을 공부하거나, 교수님께 부탁하여 대학원의 유한요소법(FEM) 수업을 청강하는 5급 기술고시 수험생들도 본 적이 있습니다. 건축·토목 분야를 넘어 기계공학 대학원 수업까지 찾아가 공부하는 분들도 있었습니다. 그 열정 자체는 정말 대단하다고 생각합니다. 다만 한편으로는, 점점 “합격을 위한 공부”에서 멀어지는 모습을 보며 아쉬운 마음이 들기도 했습니다.

5급 공채나 기술직 공무원 시험은 역학 박사과정을 선발하는 시험이 아닙니다. 시험에서 손으로 복잡한 미분방정식을 유도하거나 공학용계산기로 긴 계산을 수행하는 과정들은, 실제 실무에서는 직접 사용되는 경우가 많지 않습니다. 실무에서는 이미 훌륭한 학자분들이 수많은 가정과 검증을 통해 정리해둔 이론식, 경험식, 설계기준, 그리고 유한요소해석 기반의 구조해석 프로그램들을 활용하는 경우가 대부분입니다. 실제로 공부를 깊게 할수록 이러한 이론들이 건축 구조물뿐 아니라 각종 기계, 항공, 선박 부품 등 매우 다양한 분야에 공통적으로 적용된다는 점에서 큰 흥미와 경이로움을 느끼게 되기도 합니다.

물론 이러한 분야 자체에 대한 강한 호기심이 있다면 대학원에 진학하여 학자의 길을 걷는 것도 매우 멋진 선택이라고 생각합니다. 하지만 우선 목표가 공무원 시험 합격이라면, 학부 과정 수준의 구조역학과 재료역학 프로세스를 탄탄히 이해하고, 이를 약간 확장하여 문제를 더 쉽고 빠르게 풀 수 있는 자신만의 전략을 만드는 정도만으로도 충분하다고 생각합니다. 결국 시험에서는 “얼마나 깊게 아는가”보다 “제한된 시간 안에 얼마나 효율적으로 문제를 해결할 수 있는가”가 훨씬 중요하기 때문입니다.