2024년 서울시 7급 응용역학 15번 (부정정 보 처짐- 처짐각으로 쉽게 풀기)

1.개요

해당 문제는 과거 블로그에서도 한 차례 다룬 적이 있습니다.

https://oreostructure.tistory.com/17

당시에는 지점침하에 의해 발생하는 양단 고정모멘트를 구한 뒤 M/EI도를 그리고, 모멘트-면적법을 이용하여 C점의 처짐을 직접 산정하는 방식으로 풀이하였습니다. 이 방법 역시 계산량이 많지 않고 충분히 좋은 풀이입니다. 이번에는 같은 문제를 조금 다른 관점에서 다시 풀어보려고 합니다.

처짐을 묻는 문제라고 해서 항상 EIv′′=M(x)에서 출발하여 처짐곡선식을 만들 필요는 없습니다. 물론 모멘트식을 세우고 두 번 적분한 뒤 경계조건을 적용하면 정석적으로 답을 구할 수 있습니다. 그러나 객관식 시험에서는 동일한 결과를 훨씬 짧은 과정으로 얻을 수 있다면 굳이 긴 계산을 선택할 이유는 없습니다. 특히 이 문제는 처짐각법을 적절하게 활용하면 별도의 처짐곡선식을 구하지 않고도 해결할 수 있는 문제입니다.

먼저 지점 B의 침하 Δ에 의하여 발생하는 양단 고정모멘트와 전단력을 처짐각법으로 구하고, 이를 이용하여 C점의 모멘트와 회전각을 산정합니다. 이후 C점을 기준으로 구조물을 나누어 생각하고, C점의 회전각과 처짐을 각각 처짐각법의 절점회전 및 지점이동항으로 대입합니다. 마지막으로 실제 구조물에서의 C점 모멘트와 일치하도록 중첩의 원리를 적용하면 k1​을 간단하게 결정할 수 있습니다.

처짐각법은 흔히 부정정 구조물의 재단모멘트를 구하기 위한 공식 정도로만 활용되는 경우가 많습니다. 하지만 절점의 회전뿐만 아니라 부재 양단의 상대적인 수직변위까지 하나의 식 안에서 다룰 수 있다는 점을 이해하면 지점침하나 특정 절점의 변위를 묻는 문제에서도 상당히 강력한 도구가 됩니다. 과거 풀이에서는 모멘트-면적법으로 직접 처짐을 구했다면, 이번 풀이에서는 처짐각법을 조금 더 확장하여 활용하는 방법을 소개해 보겠습니다.

2. 문제풀이

(1) 지점침하에 의한 하중, C점에서의 모멘트 산정

• 처짐각법 공식에 대입시 양단 고정단 모멘트 (6EI/L^2)×Δ로 산정

• C 점에서의 모멘트 산정시,
  
  

(2) M/EI 도 → C 점에서의 회전각 산정

(3) C점 모멘트와 처짐각법 공식 대입

① 지점침하가 없을 때의 C 점 모멘트

② 지점침하만 있을 때의 C 점 모멘트

③ 중첩의 원리로 인한 C점 모멘트

3. 마무리하며

이 문제는 처짐곡선식을 직접 세워 이중적분을 수행하여도 정답을 구할 수 있습니다. 다만 공무원 시험과 같이 제한된 시간 안에 많은 문제를 해결해야 하는 상황에서는 단순히 처짐을 묻는다는 이유만으로 매번 처짐곡선식부터 작성하는 것이 반드시 효율적인 접근은 아닙니다. 구조역학에서 배우는 여러 해석법의 장점은 같은 문제를 보다 간결하고 체계적으로 바라볼 수 있게 해준다는 데 있다고 생각합니다.

과거에는 이 문제를 처짐각법으로 지점침하에 따른 부재력을 구한 뒤 모멘트-면적법을 적용하여 해결하였습니다. 이번에는 한 단계 더 나아가 C점의 회전각을 구하고, C점을 기준으로 구조물을 나누어 처짐각법의 절점회전과 지점이동을 동시에 활용하는 방법으로 동일한 결과를 얻어보았습니다. 처짐각법을 단순히 부정정 구조물의 재단모멘트를 구하기 위한 공식으로만 생각하지 않는다면 이처럼 변위 문제에서도 다양하게 활용할 수 있습니다.

개인적으로 시험을 준비할 때에는 하나의 익숙한 방법으로 모든 문제를 해결하기보다는 문제의 형태에 따라 처짐각법, 모멘트-면적법, 가상변위의 법칙 등을 적절히 선택할 수 있는 것이 중요하다고 생각합니다. 특히 처짐각법은 제대로 활용하면 생각보다 계산량이 많지 않으며, 지점침하가 포함된 문제에서는 오히려 매우 직관적이고 강력한 풀이가 될 수 있습니다. 이번 풀이가 처짐각법을 조금 더 유연하게 활용하는 하나의 예가 되었으면 합니다.

그리고 최근 오레오구조 카카오톡 단체방을 개설하였습니다. 블로그 글을 보시다가 궁금한 점이 있거나 풀이에 대해 질문하고 싶은 내용이 있다면 앞으로는 카카오톡 단체방을 통해서도 질문을 받을 예정입니다. 단순히 질문에 답하는 공간에 그치지 않고, 공부하면서 함께 생각해 볼 만한 재미있는 문제나 여러 가지 풀이 방법도 틈틈이 소개해 보려고 합니다. 구조역학과 응용역학을 공부하시는 분들이 서로 편하게 의견을 나눌 수 있는 공간으로 만들어가고 싶으니 많은 참여 부탁드립니다.

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