1. 개요
이번 문제는 2차 부정정 Frame에서 외력에 따른 변형 형상(Deformed Shape) 을 묻는 문항입니다.
겉으로 보기에는 내력을 계산하고, 부정정 구조물 해석을 수행해야 할 것처럼 보여 다소 부담스러울 수 있습니다.
하지만 실제로는 그 어떤 부정정 해석도 필요하지 않습니다.
이 문제의 핵심은 두 가지입니다.
- 각 자유도에서 강절점(Rigid Joint)가 만족해야 하는 적합 조건(Compatibility)
- 고정단(Fixed)과 핀(Pin) 지점에서의 회전각 경계조건(Boundary Condition)
이 두 가지만 정확히 알고 계시면
보기의 변형 형상 중 절반이 바로 제거되며 (보기 ①,②)
회전에 의해 발생하는 현회전각(Chord Rotation) 의 방향을 이해하고 있다면
어떤 구간에서 모멘트가 + 또는 – 로 작용하는지가 자연스럽게 보이므로
정확한 변형 형상을 즉시 도출할 수 있습니다.
즉,
부정정 구조물의 복잡한 내력 해석 없이도
기본적인 기하학적 관계만으로 충분히 해결 가능한 문제입니다.
풀이는 매우 직관적으로 빠르게 가능하지만 이에 대한 이론적 근거 설명을 상세히 드리도록 하겠습니다.
2. 문제풀이
(1) 강절점 (Rigid Joint) 의 적합 조건
강절점(rigid joint)에 회전이 발생하면 어떤 일이 일어날까요?
강절점의 가장 중요한 특징은 절점의 회전이 곧바로 모든 연결 부재의 끝단 회전으로 전달된다는 점입니다.
즉, 강절점은 부재들 간의 상대 회전을 허용하지 않기 때문에
절점에서 발생한 회전은 연결된 부재 끝단에 동일한 회전량으로 전달됩니다.
이를 조금 더 구조해석적인 관점에서 표현해 보겠습니다.
- 강절점에서의 회전은 Global DOF(절점 자유도)
- 부재 끝단에서의 회전은 Local DOF(부재 자유도)
이라고 정의하면, 둘 사이에는 다음과 같은 매우 단순한 관계가 성립합니다.
Global DOF(강절점의 회전)가 시계방향이면
Local DOF(부재 끝단 회전)도 시계방향이다.Global DOF가 반시계방향이면
Local DOF도 반시계방향이다.
즉, 강절점에서는
절점 회전 = 부재 끝단 회전
이라는 관계가 항상 유지됩니다.
이를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.
이와 같은 사실을 바탕으로 가상 변위의 법칙을 적용해보겠습니다.
절점 B에서 가상변위의 법칙을 사용하면 다음과 같은 관계식을 세울 수 있습니다.
한편 적합조건에 따르면 다음과 같은 관계식이 성립합니다.
이를 활용하여 가상변위의 법칙으로 유도한 공식에서 양변의 동일한 값을 갖고 있는 각도를 모두 나눠 버리면
절점 평형 방정식이 완성됩니다.
따라서 적합조건을 가상변위의 법칙으로 확장하고 결국 평형방정식과 일치한다는 사실까지 유도할 수 있습니다.
이와 같은 성질을 이용하면 보기 ①, ②가 소거가 됩니다.
절점 C에서 각도에 대한 적합조건이 만족하지 않기 때문입니다.
- 보기 ① : θcb는 시계방향, θcd는 반시계방향 ( + 추가로 D 절점의 기울기가 hinge인데도 불구하고 0)
- 보기 ② : θcb는 반시계방향, θcd는 시계방향
(2) 현회전에 따른 모멘트
수직 부재인 AB와 CD 부재에 초점을 맞추면, 각 부재의 회전각인
θba와 θcd의 방향을 판단하는 것이 생각보다 쉽지 않습니다.
그 이유는 단순 부재 회전뿐만 아니라 현회전(Chord Rotation) 효과까지 함께 고려해야 하기 때문입니다.
반면 수평 부재인 BC는 길이 방향으로 수평을 유지하므로 현회전각이 존재하지 않습니다.
따라서 BC 부재의 양단 모멘트만 정확히 알면
그 모멘트들로부터 양단 회전각을 직접 추론할 수 있습니다.
편의상 BC 부재의 양단 모멘트를
Mbc,
라고 하겠습니다.
이 두 모멘트는 절점 B와 C에서의 모멘트 평형 조건에 의해
각각 다음과 같은 관계를 가집니다.
- Mbc는 절점 B에서 Mba와 크기는 같고 방향은 반대
- Mcb는 절점 C에서 Mcd와 크기는 같고 방향은 반대
하중 P로 인해 Frame 전체는 오른쪽으로 수평 이동(Sway) 하게 됩니다.
그 결과 수직부재인 AB와 CD는 수평 변위에 의해 시계방향으로 회전하게 됩니다.
이때 부재의 실제 기하학적 변형을 나타내는 것이 바로 현회전각(Chord Rotation) 입니다.
현회전각이 시계방향으로 생기면,
- 부재의 양단에서는 현회전각과 반대 방향(=반시계방향) 으로
- 모멘트가 발생하여 그 변형에 저항하게 됩니다.
(참고) 이전의 포스팅으로 그 이유를 설명하였으므로 참조 바랍니다.
https://oreostructure.tistory.com/58
보 구조물 변위법의 기본 - 처짐각법 pt 2
1. 개요이번 글은 처짐각법 Pt.1에 이어 두 번째 글입니다.https://oreostructure.com/48 보 구조물 변위법의 기본 - 처짐각법 pt 11. 개요단순보 양끝에 모멘트가 작용하면 휨은 어떻게 될까요?구조물을 스
oreostructure.com
따라서,
- 수직부재 AB와 CD에 작용하는 양단 모멘트는 반시계방향이 됩니다.
- 이는 BC 양단 모멘트(Mbc, Mcb)와의 평형관계로도 자연스럽게 이어집니다.
따라서 수평부재 BC에 작용하는 양단 모멘트는 시계방향이 됩니다.
그림으로 이를 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
따라서 답은 ③ 번이 됩니다.
3. 마무리 하며
이번 문제는 겉보기에는 부정정 구조물의 복잡한 해석을 필요로 하는 것처럼 보이지만,
실제로는 변위 적합 조건과 Sway 발생 시 모멘트 방향만 정확히 이해하고 있으면
아주 간단하게 해결할 수 있는 문항입니다.
그러나 문제를 풀어내는 데서만 만족하기보다는,
이번 풀이를 통해 서로 관련 없어 보이는 여러 역학 이론들 사이에
하나의 연속된 흐름과 연결고리가 있다는 점을 느껴보셨으면 합니다.
- 강절점의 회전 전달
- 현회전각(Chord Rotation)의 부호
- Sway 프레임의 모멘트 분포
- 절점 평형에 의한 모멘트 부호 결정
- 변위 적합 조건에 따른 부재 회전 관계
이러한 요소들은 따로 존재하는 개별 개념이 아니라,
문제를 해결하는 과정에서 서로 맞물리며
하나의 “아름다운 해법”으로 자연스럽게 연결됩니다.
결국 구조역학은 공식 암기의 학문이 아니라,
기하학·평형·변위 적합·부호 규칙이 하나로 엮여 작동하는 구조적 사고의 학문입니다.
앞으로도 이런 관점에서 문제를 바라보시면
풀이가 단순해지고, 실수가 줄고, 응용력은 크게 높아지실 것입니다.
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