변단면 Cantilever 처짐의 처짐각법 해결법 (7급 모의고사 문제)

1.개요

마 전 한국도로공사 토목직 필기시험에서 변단면 처짐 문제가 출제되었다는 이야기를 듣고, 이를 응용하여 구성해 보았습니다.

물론 이 문제는 M/EI 도의 1차 모멘트 비율을 이용해서도 충분히 처리할 수 있습니다.

하지만 만약 문제에서 처짐을 직접 구하라고 한다면, 여러분은 어떤 방식으로 접근하실 것인지 한번 고민해 보셨으면 합니다.

많은 분들이 중첩법을 활용하여 구하는 방법에 익숙하실 것 같습니다.

이는 많은 분들이 이미 알고 있는 풀이여서 다른 방법을 소개하고자 합니다.

바로 처짐각법을 활용하여 문제를 해결하는 과정을 다뤄보겠습니다.
참고로 저는 이전에 처짐각법 시리즈를 통해 기본 이론을 정리한 바 있습니다.

https://oreostructure.tistory.com/48

보 구조물 변위법의 기본 - 처짐각법 pt 1

https://oreostructure.tistory.com/58

보 구조물 변위법의 기본 - 처짐각법 pt 2

https://oreostructure.tistory.com/60

보 구조물 변위법의 기본 - 처짐각법 pt 3 (FEM 과 등가 절점 하중)

그 과정에서 처짐을 단순한 변위가 아니라 ‘현 회전각’으로 치환하여, 회전각 개념으로 접근하는 방법을 강조했습니다.

이러한 방식으로 개념을 확장해서 이해하지 않으면, 처짐각법은 매우 제한적인 상황에서만 적용 가능한 도구로 남게 됩니다.

실제로 많은 분들을 지도해본 결과, 처짐각법의 활용 비중이 낮거나 응용까지 이어지지 않는 경우가 많다는 점을 느꼈습니다.

이번 문제를 통해, 다소 복잡해 보이는 상황에서도 처짐각법을 어떻게 효과적으로 적용하여 실제 처짐값을 구할 수 있는지 그 과정을 보여드리겠습니다.

2. 문제풀이 (처짐각법)

처짐각법의 공식을 통해 직관적으로 저희는 다음의 사실을 유추할 수 있습니다.

B지점의 모멘트, 회전각, 처짐을 알면 C점의 처짐량을 알수있다.

단순한 정정 캔틸레버이므로 모멘트 내력은 매우 쉽게 산정됩니다. 

(1) Case (a)

처짐각 공식을 적용하면 다음과 같습니다.

한편, 사다리꼴에서 도심은 밑변과 아랫변이 1:2 인경우 높이의 5/9 배라는 사실을 통해 식을 다음과 같이 단순화 할 수 있습니다.

한편 θb는 M/EI도를 통해 다음과 같이 쉽게 산정됩니다. (사다리꼴의 면적)

따라서 C점의 처짐공식에 대입하게 되면 다음과 같습니다.

(2) Case (b)

아까와 마찬가지로 처짐각법을 적용시 다음과 같습니다.

따라서 C점의 처짐은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

한편 B점의 회전각은 (a)의 경우에 비하여 2배 적습니다 (EI → 2EI)

따라서 C점의 처짐은 B점의 회전각 값을 대입하여 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

(3) δC 의 비율 산정

따라서 답은 ①이 됩니다.

3. 마무리하며

저는 위 문제에 한정하여 실제 풀이에서는 M/EI 도를 활용하여,

넓이의 비율과 1차 모멘트의 비율로 보다 간결하게 접근하였습니다.

그럼에도 불구하고 처짐각법 풀이를 따로 가져온 이유는,

중첩법 외에도 충분히 강력하고 효율적인 해석 방법이 존재한다는 점을 소개하고 싶었기 때문입니다.

또한 공기업 시험뿐만 아니라 공무원 시험에서도 처짐을 직접 산정하도록 요구하는 문제가 실제로 출제된 바 있습니다.

처짐각법의 가장 큰 장점은 ‘직관성’입니다.

앞서 말씀드린 것처럼, 처짐을 구하기 위해서는 결국 양 끝단의 모멘트와 회전각만 파악하면 충분합니다.

만약 한쪽 끝의 모멘트가 0인 경우라면, 수정된 처짐각법을 적용할 수 있기 때문에

필요한 조건이 하나 더 줄어드는 장점도 있습니다.

문제를 마주했을 때
“주어진 조건은 무엇인가?”, “어떤 조건을 추가로 구해야 하는가?”
이러한 판단을 빠르게 할 수 있도록 도와주는 것이 바로 처짐각법이며,

특히 휨부재 문제에서 매우 유효한 사고 틀을 제공합니다.

이러한 관점을 체화하게 되면, 단순히 문제를 푸는 수준을 넘어서 휨부재에 대한 이해도를 한 단계 더 깊게 가져갈 수 있습니다.
제가 7급 하프 모의고사 강의에서 가장 중요하게 생각하는 포인트도 바로 이 부분입니다.