2023년 5급 구조역학 3-2번 (손계산으로 풀어보기)

1.개요

이번 포스팅에서는 앞서 다루었던 2023년 5급 공채 구조역학 제3문 소문제 1번에 이어, 소문제 2번의 부정정 라멘 구조물을 풀어보겠습니다. 앞선 포스팅에서는 부정정 트러스를 대상으로 유연도 매트릭스를 직접 구성하여 부정정력을 산정하는 방법을 소개하였습니다. 이번 문제에서는 별도의 유연도 매트릭스를 구성하기보다는, 그때 살펴보았던 유연도법의 본질인 변위일치조건을 보다 직접적으로 활용하여 문제를 풀어보겠습니다.

부정정 구조물의 해석에서 중요한 것은 복잡한 공식을 얼마나 많이 알고 있는지가 아니라, 어떤 구속조건 때문에 부정정력이 발생하고 그에 대응하는 변위가 어떠한 조건을 만족해야 하는지를 파악하는 것입니다. 이번 문제에서는 A점의 수평반력을 부정정력 (X)로 선정하면, 실제 구조에서 A점의 수평변위는 발생할 수 없다는 매우 단순한 변위일치조건을 얻을 수 있습니다. 따라서 실제 외력에 의해 발생하는 A점의 수평변위와 부정정력 (X)에 의해 발생하는 수평변위를 각각 구한 뒤, 두 변위가 서로 상쇄되도록 하는 (X)를 찾으면 문제는 끝납니다.

특히 이번 문제는 구조물과 하중이 대칭이라는 점을 이용하면 해석해야 할 범위를 절반으로 줄일 수 있습니다. 외력에 의한 변위는 모멘트도의 면적을 이용하여 회전각을 구한 뒤 구조물의 변형 형상으로부터 간단히 산정할 수 있으며, 부정정력에 의한 변위 역시 단위하중을 이용하면 어렵지 않게 구할 수 있습니다. 결국 앞선 포스팅에서 행렬의 형태로 표현했던 F_{XP}P+F_{XX}X=0 이라는 관계를 이번에는 구조물의 실제 변형을 직접 살펴보면서 적용하는 것입니다.

변위일치법을 공부하다 보면 부재력을 미지수의 함수로 만든 뒤 변형에너지를 전개하고, 이를 미분하여 적합방정식을 얻는 계산 과정 자체에 익숙해지기 쉽습니다. 물론 이러한 방법으로도 문제를 풀 수 있지만, 그 과정이 변위일치법의 전부는 아닙니다. f_{ij}가 무엇을 의미하는지, 단위 부정정력을 가하는 이유가 무엇인지, 그리고 우리가 만드는 적합방정식이 구조물의 어떠한 기하학적 조건을 표현하는지를 이해한다면 훨씬 다양한 방법으로 문제를 바라볼 수 있습니다. 이번 문제는 이러한 변위일치조건의 물리적인 의미를 이해하는 것만으로 부정정 라멘을 얼마나 간단하게 해석할 수 있는지 보여주는 좋은 예제가 될 수 있을 것 같습니다.

2.문제풀이

(1) 대칭 모델링 및 미지력 산정

• 구조물은 외적 1차 부정정 구조물이며 이에 따라 미지력은 A점의 수평반력으로 산정
• 하중 대칭, 구조물 대칭 → 대칭 축을 따라 고정단 롤러 모델링 

(2) 부정정력 =0 , 외력만 존재 할 때의 정정해석

• 수평반력 제거시, 기둥에 휨이 발생하지 않음 → 상부 보부분을 단순지지로 설정 가능

• 등분포 하중의 등가 절점 하중 치환

• 이에 대한 휨모멘트도 산정 및 면적 산정

• D절점에서의 회전각 산정

• A점에서의 수평 이동량 산정

(3) 외력 =0 , 부정정력만 존재 할 때의 정정해석

• 단위 하중을 가했을 때 A점에서의 수평 처짐

• 하중이 X 일때 δA의 값

(4) 변위일치 적용 및 A점 수평 반력 산정

• A점에서의 수평이동량은 0이므로 

3.마무리하며

이번 문제에서는 2023년 5급 공채 구조역학 제3문 소문제 2번을 통해 변위일치조건을 이용한 부정정 라멘의 해석을 살펴보았습니다. 앞선 소문제 1번에서는 유연도 매트릭스를 직접 구성하여 부정정력을 산정하였다면, 이번 문제에서는 동일한 원리를 구조물의 변형을 통해 보다 직관적으로 적용하였습니다. 표현하는 방법은 달라 보이지만 결국 두 풀이 모두 가상하중의 법칙을 이용하여 부정정력에 대응하는 변위를 구하고, 실제 구조물이 만족해야 하는 변위일치조건을 적용한다​는 동일한 원리에서 출발합니다.

이번 풀이에서 가장 중요하게 보고 싶은 부분은 계산 과정 자체보다 A점의 수평반력을 부정정력으로 선정했을 때 어떠한 변위일치조건을 적용할 것인가입니다. A점은 실제 구조에서 수평방향으로 구속되어 있으므로 외력에 의해 발생하는 수평변위와 부정정력에 의해 발생하는 수평변위가 서로 상쇄되어야 합니다. 외력에 의한 변위는 대칭성을 이용하여 구조물을 절반만 해석하고, 모멘트도의 면적과 회전각을 통해 간단하게 구할 수 있습니다. 부정정력에 의한 변위 역시 단위하중을 가하여 구한 유연도계수를 이용하면 쉽게 산정할 수 있습니다. 결국 복잡해 보이는 부정정 라멘 문제도 구조물의 변형 형상과 구속조건을 먼저 바라보면 상당히 단순한 문제로 바뀔 수 있습니다.

앞선 포스팅에서 살펴본 f_{ij}의 개념 역시 이러한 관점에서 이해할 필요가 있습니다. 유연도계수는 단순히 행렬을 채우기 위한 숫자가 아니라 특정 방향에 단위하중을 가했을 때 그에 대응하여 발생하는 변위를 의미합니다. 따라서 유연도 매트릭스, 가상하중의 법칙, 변위일치법을 각각 별개의 풀이법으로 외우기보다는 이들이 서로 어떻게 연결되는지를 이해하는 것이 중요합니다. 이러한 원리를 익혀두면 변형에너지식을 모두 전개하고 공학용 계산기로 미분하는 방식에만 의존하지 않고, 문제의 특성에 따라 훨씬 간결한 풀이를 선택할 수 있습니다.

개인적으로 구조역학 문제를 공부할 때에는 하나의 정형화된 풀이를 반복하는 것보다 같은 원리가 서로 다른 형태의 구조물에서 어떻게 적용되는지를 살펴보는 과정이 중요하다고 생각합니다. 소문제 1번의 부정정 트러스와 이번 소문제 2번의 부정정 라멘은 겉보기에는 상당히 다른 문제이지만, 결국 부정정력을 선정하고 그에 대응하는 변위일치조건을 세운다는 하나의 원리로 연결됩니다. 이번 두 문제를 통해 유연도법을 단순한 계산 방법이 아니라 부정정 구조물을 바라보는 하나의 해석 체계로 이해하는 데 도움이 되었으면 합니다.

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