2023년 5급 공채 구조역학 2번 (직접강성도법 풀이)

1.개요

제 구독자 분들 중에 5급 준비 수험생도 있어 직접강도법 풀이에 대한 포스팅을 작성하여 올립니다.

직접강도법(Direct Stiffness Method)은 현대 구조해석과 유한요소법(FEM)의 기반이 되는 가장 핵심적인 해석 방법 중 하나입니다. 처음 접하면 수많은 행렬과 좌표변환 때문에 어렵게 느껴질 수 있지만, 실제 본질은 매우 단순합니다. 각 부재를 가장 해석하기 쉬운 Local 좌표계(Local DOF)에서 먼저 정의하고, 이를 구조물 전체의 공통 좌표계(Global DOF)로 변환하여 하나의 구조물로 조립하는 과정입니다. 즉, 부재 하나하나는 독립적으로 해석하지만 최종적으로는 모든 부재가 절점을 공유하며 연결되어 있다는 사실을 강성행렬(Global Stiffness Matrix)로 표현하는 것입니다. 이 과정에서 Transformation Matrix는 Local 정보와 Global 정보를 이어주는 핵심 역할을 수행하며, 직접강도법은 결국 “부재의 강성을 구조물 전체에 어떻게 연결할 것인가”를 체계적으로 정리한 방법이라 볼 수 있습니다.

특히 직접강도법은 단순히 행렬 계산 기술을 배우는 과정이 아니라 구조물을 변위 중심으로 바라보는 현대적인 사고방식을 제공한다는 점에서 매우 중요합니다. 왜 자유도를 정의하는지, 왜 좌표변환이 필요한지, 왜 강성행렬을 조립하는지를 이해하게 되면 구조해석의 흐름이 훨씬 입체적으로 보이기 시작합니다. 또한 이러한 개념은 단순한 트러스 문제를 넘어 Frame 구조물, 유한요소법, 컴퓨터 구조해석 프로그램의 원리까지 자연스럽게 연결됩니다. 본 글에서는 직접강도법의 핵심 개념인 Local DOF, Global DOF, Transformation Matrix, 그리고 Global Stiffness Matrix의 형성과정을 구조적 의미 중심으로 직관적으로 정리해보겠습니다.

2. 문제 풀이

(1) Global DOF의 정의

그림과 같이 각 절점별 회전 자유도와 수직 자유도가 존재 합니다.

 

(2) Local Stiffness Matrix (부재력과 Local DOF와의 관계)

Global DOF는 절점의 대문자 알파벳을 사용하였지만 , Local DOF는 절점의 소문자 알파벳을 사용하여 표기하였습니다.

① 보 부재 AB

② 스프링 축 부재 BC

(3) Local DOF→ Global DOF 변환

① 보 부재 AB

보부재의 좌표계는 Global x축, y축과 일치합니다 따라서 Transformation Matrix의 경우 단위 행렬이 됩니다.

따라서 Global DOF로 변환 결과는 다음과 같습니다.

② 스프링 축 부재 BC

축부재의 Transformation Matrix는 다음과 같이 정의 됩니다.

θ=90˚일때 Transformation Matrix는 다음과 같게 됩니다.

따라서 Global Stiffness로의 변환은 다음과 같게 됩니다.

따라서 이를 Global DOF 형태로 나타내면 다음과 같습니다.

(4) Global Stiffness Matrix로의 합성

Local DOF를 Global DOF로 변환한 강성행렬을 각 Global DOF에 맞게 재정렬을 하면 다음과 같이 Global Stiffness Matrix가 완성됩니다.

이를 Active DOF와 지점에서의 Restrained DOF로 분류하면 다음과 같이 재정렬 할 수 있습니다.

붉은색 점선으로 표시한 대로 재정렬시 전체 Global Matrix를 자유도에 따라 Sub Matrix로 분류 할 수 있게 됩니다.

(5) B점에서의 처짐과 처짐각 산정

B점의 처짐과 처짐은 Active DOF에 해당하므로 다음과 같이 산정할 수 있습니다.

따라서 이를 계산하면 다음과 같습니다. 

(6) A점에서의 지점 반력

반력은 직접강도법에서 다음과 같이 산정 할 수 있습니다.

따라서 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

따라서 A점의 수직 반력은 연직상향으로 46.9925N 이며, 모멘트 반력은 반시계 방향으로 9.3985 Nm 입니다.

(7) 스프링에 작용하는 힘

스프링에 작용하는 고정단 C점에서 작용하는 반력을 통해 알 수 있습니다.

Vc가 연직 상향으로 3.00752N 이므로 

스프링에는 압축력으로 3.00752N이 작용하게 됩니다.

(8) 보의 SFD, BMD

3.마무리하며

직접강도법 문제는 단순히 답을 맞추는 것에만 의미가 있는 것이 아닙니다. 오히려 더 중요한 것은 구조해석이 어떠한 흐름(flow)으로 진행되는가를 이해하는 것입니다. 부재 단위에서 Local DOF를 정의하고, 이를 Transformation Matrix를 이용하여 Global DOF로 변환한 뒤, 각 부재의 강성을 전체 구조물 차원에서 조립하여 Global Stiffness Matrix를 구축하는 과정 자체가 직접강도법의 핵심입니다. 즉 구조물을 하나의 거대한 행렬 문제로 바라보는 현대 구조해석의 사고방식을 익히는 것이 중요합니다. 이러한 흐름을 이해하게 되면 단순한 보 문제를 넘어 Frame 구조물, 격자구조, 유한요소법(FEM)까지 자연스럽게 연결하여 이해할 수 있게 됩니다.

또한 Global Stiffness Matrix는 단순한 숫자 배열이 아니라 구조물의 자유도와 경계조건(Boundary Condition)을 모두 담고 있는 매우 중요한 행렬입니다. 일반적으로 Active DOF와 Restrained DOF를 기준으로 4개의 Sub Matrix로 분할할 수 있으며, 이를 통해 변위와 반력의 관계를 체계적으로 정리할 수 있습니다. 이후 경계조건을 대입하면 미지의 절점 변위, 회전각, 지점반력 등을 효율적으로 산정할 수 있게 됩니다. 결국 직접강도법은 계산 기술 자체보다도 “구조물을 어떻게 자유도 관점에서 바라보고 연결할 것인가”에 대한 학문이라 볼 수 있으며, 이러한 관점은 앞으로의 구조해석 학습에서 매우 강력한 기반이 될 것입니다.