토목구조기술사 120회 3교시 4번

1.개요

이번에 살펴볼 문제는 토목구조기술사 제120회 3교시 4번 문항으로, 휨을 받는 보와 축력을 받는 경사부재가 연결된 구조물의 수직변위를 구하는 문제입니다. 서로 다른 변형 특성을 가진 부재가 함께 있어 복잡해 보이지만, 보의 끝단 수직강성을 이용해 등가 스프링으로 치환하면 구조물의 거동을 한결 간단하게 정리할 수 있습니다. 특히 이 문제는 2차 부정정 구조물이지만, 대칭인 경사부재의 배치와 수직하중 조건을 활용하면 B점의 수직변위 하나만을 미지수로 두고 접근할 수 있습니다. 이번 풀이에서는 이러한 특징에 주목하여 구조물을 단일 자유도 스프링 모델로 단순화하고, 가상변위의 원리를 통해 각 부재의 저항을 하나의 식으로 모아 변위를 구해보겠습니다. 부정정 차수만 보고 복잡한 계산을 시작하기보다, 어떤 미지수를 선택하면 풀이가 짧아지는지 살펴보는 데 초점을 맞추겠습니다.

2.문제풀이

B점의 수직변위에 대한 단일 자유도로 모델링 가능합니다.

이 구조물은 2차 부정정 구조물이지만, B점의 수직변위 하나를 미지수로 두어 해석할 수 있습니다. 따라서 두 개의 여력을 구하는 응력법보다, 하나의 변위를 구하는 변위법으로 접근하면 계산을 간결하게 정리할 수 있습니다

(1) 캔틸레버보 AB의 스프링 치환

• 캔틸레버 AB의 끝단 수직방향 강성은 처짐각법으로 쉽게 구할 수 있습니다.

(2) 구조물 단순화

따라서 다음과 같은 대칭 축부재로 모델링이 가능합니다.

대칭으로 모델링 한 이유는 B 꼭지점에서의 수평변위가 보부재로 인하여 존재하지 않기 때문입니다. 두 경사부재는 형상과 축강성이 같고 B점을 기준으로 좌우 대칭으로 배치되어 있습니다. 수직하중에 의한 두 부재의 수평방향 힘이 상쇄되므로, 선형 미소변위 해석에서 B점의 수평변위는 발생하지 않습니다. 따라서 B점의 수직변위만을 고려하는 단일 자유도 모델로 단순화할 수 있습니다.

(3) 가상 변위의 법칙 적용

하중이 작용하는 꼭지점 B에서 δ만큼 아래로 가상변위를 주면 BC, BD 축부재는 각각 δ×sinθ 만큼 인장하게 되며 

스프링으로 모델링한 AB 부재는 δ만큼 인장하게 됩니다.

이를 통해 가상변위의 법칙을 적용하면 아래와 같습니다. B점의 실제 수직변위를 δ 라 하면, 두 경사부재의 신장량은 각각  δ×sinθ  이고, 등가 수직 스프링의 신장량은 δ 입니다. 이 상태에서 B점에 아래 방향의 가상변위 δ 를 부여하면, 각 부재에 대응하는 가상 신장량은 각각 δ×sinθ 와 δ 가 됩니다. 가상변위의 원리에 따라 외력의 가상일과 내력의 가상일을 같게 놓으면 다음과 같습니다.

따라서 변위 δ에 대해 풀게 되면 다음과 같습니다.

3.마무리하며

이번 문제의 핵심은 보의 휨변형과 경사부재의 축변형을 각각 복잡하게 계산하는 대신, 각 부재의 강성을 이용해 하나의 변위로 연결하는 것이었습니다. 보를 등가 스프링으로 치환하고 B점의 수직변위와 각 부재의 신장량 사이의 관계를 파악하면, 가상변위의 원리를 통해 간결하게 답을 구할 수 있습니다. 특히 경사부재에서는 B점의 수직변위 전체가 부재의 신장량이 되는 것이 아니라, 부재 방향으로 투영된 성분만이 신장에 기여한다는 점을 이해해야 합니다. 시험장에서 풀이의 길이를 결정하는 것은 부정정 차수만이 아닙니다. 힘을 미지수로 둘지, 변위를 미지수로 둘지 먼저 판단하는 습관이 계산량을 줄이고 실수를 예방하는 데 도움이 됩니다. 익숙한 해법을 적용하는 것에서 한 걸음 더 나아가, 구조물의 거동을 가장 간단하게 표현할 수 있는 방법을 찾아보시기 바랍니다.