2022년 5급 공채 구조역학 2번 문제 (유연도 매트릭스 방법의 적용)

1. 개요

이번 문제는 캔틸레버보에 두 개의 케이블이 연결된 2차 부정정구조로, 케이블의 축변형과 보의 휨변형을 함께 고려해야 하는 문제입니다. 일반적인 힘의 방법으로도 해결할 수 있지만, 각 단위 미지력에 의해 발생하는 부재력을 평형행렬로 정리하고 부재 유연도 매트릭스와 결합하면 전체 계산과정을 비교적 체계적으로 나타낼 수 있습니다. 특히 유연도 매트릭스법은 단순히 공식을 행렬로 바꾸어 표현하는 방법이 아니라, 평형조건에 의해 부재력을 구성하고 각 부재의 변형에너지를 이용하여 미지력 방향의 변위를 산정한다는 점에서 힘의 방법을 일반화한 해석법이라고 볼 수 있습니다.

이 문제에서 주의해서 살펴볼 부분은 케이블의 일방향 거동입니다. 두 케이블이 모두 장력을 전달한다고 가정하여 변위일치조건을 적용하면 DE 케이블의 장력이 음수로 계산됩니다. 이는 계산이 잘못되었다는 뜻이 아니라, 해당 변위일치조건을 만족시키기 위해서는 DE 부재가 압축력을 전달해야 한다는 의미입니다. 그러나 케이블은 인장력만 전달할 수 있으므로 실제 구조에서는 DE 케이블이 느슨해지고 구조계에서 비활성화됩니다. 따라서 최초 해석 결과를 그대로 답으로 채택해서는 안 되며, DE 케이블에 관한 변위일치조건을 제거하고 CE 케이블만이 유효한 구조로 다시 해석해야 합니다.

이러한 과정은 케이블 구조의 해석이 일반적인 선형 부정정구조의 해석과 다른 이유를 잘 보여줍니다. 선형탄성 부재에서는 계산된 부재력이 인장이든 압축이든 그대로 받아들일 수 있지만, 케이블에서는 장력이 음수로 계산되는 순간 구조계 자체가 달라집니다. 이번 풀이에서는 평형행렬을 A로 정의하고, 외력 및 미지력에 따른 일반화 부재력을 구성한 뒤 유연도 매트릭스를 이용하여 두 케이블의 활성 여부까지 순차적으로 확인해 보겠습니다.

** 참고 : 일반적으로 힘의 평형으로 산정되는 매트릭스는 A로 표기하며 변위관계로 산정되는 매트릭스는 B로 표기합니다.

2. 문제풀이

(1) 부재력 표기

• 구조물은 2차 부정정 : 케이블 CE, DE (Q6, Q7)을 미지력으로 간주
• 휨부재 3개, 축부재 2개에 따른 부재 내력 표기 

(2) 평형 행렬 (A Matrix) 산정

① B점에서 단위 외력에 따른 평형행렬

② 미지력 (케이블 CE, DE 인장력)에 대한 평형행렬

(3) 부재 유연도 매트릭스 

(4) 미지력에 대한 변위 매트릭스 산정 

① FXP : 외력에 대한 미지력의 상호 유연도 행렬 

① FXX  : 미지력 유연도 행렬

(5) 미지력 부재에 대한 변위일치

따라서 두개의 변위일치식이 산정됩니다.

이를 연립하여 풀게 되면 

하지만 이는 케이블 DE가 압축력을 받는 다는 의미이기 때문에 모순이 됩니다.

결과적으로 케이블 DE는 압축으로 외력에 저항하지 않기 때문에 없는 부재로서 처리해야 합니다.

(6) DE 케이블 제거 후 구조해석 (DE 케이블 부재력 =0) 

DE에 해당하는 row와 column 삭제 시, 

따라서 DE의 케이블은 부재력이 0이며 CE 케이블은 부재력이 19.1693 kN에 해당합니다.

(7) A점과 E점의 반력 산정

① 부재력 산정

② 반력 산정

• A점에서 모멘트는 Q1에 해당 (반시계 33993.6 Nm)

3. 마무리하며

이번 문제에서는 일반적으로 많이 소개되는 풀이가 아닌 유연도 매트릭스(Flexibility Matrix) 방법을 이용하여 해석을 진행해 보았습니다. 최근에는 변위법 매트릭스(강성법)가 범용 해석 프로그램의 기반이 되면서 교육과 실무 모두에서 더욱 널리 사용되고 있지만, 유연도법 역시 구조역학의 기본 원리를 이해하는 데 매우 중요한 의미를 갖습니다. 특히 부정정력이 적은 구조물에서는 계산 과정이 비교적 간결하며, 힘의 방법을 행렬 형태로 체계화하여 표현할 수 있다는 장점이 있습니다.

이론적인 측면에서 보면 변위법 매트릭스는 가상변위의 법칙(Principle of Virtual Displacements)을 기반으로 전개되는 반면, 유연도 매트릭스는 가상하중의 법칙(Principle of Virtual Forces)을 기반으로 유도됩니다. 또한 최종적으로 얻어지는 변위일치식은 최소일의 원리나 카스틸리아노 제2정리를 이용하여 전체 변형에너지를 하중에 대해 미분하여 얻는 적합조건식과 동일한 결과를 나타냅니다. 즉, 접근 방법은 서로 다르지만 모두 동일한 탄성역학의 원리 위에서 출발하며, 표현 방식만 달라질 뿐 결국 같은 해를 얻게 됩니다.

이번 문제에서 특히 흥미로운 점은 케이블의 일방향 거동입니다. 처음에는 두 케이블을 모두 활성 부재로 가정하여 해석을 수행하였지만, DE 케이블의 장력이 음수로 계산되면서 실제로는 압축력을 전달할 수 없다는 사실을 확인할 수 있었습니다. 따라서 DE 케이블을 비활성 부재로 제거한 후 다시 해석해야만 실제 구조물의 거동을 올바르게 반영할 수 있습니다. 이러한 과정은 단순히 계산 결과만 구하는 것이 아니라, 구조물의 물리적인 거동을 함께 판단해야 한다는 점을 잘 보여주는 좋은 예라고 생각합니다.

유연도 매트릭스법은 국가직·지방직 7급 시험에서 자주 등장하는 풀이 방법은 아니지만, 힘의 방법과 최소일의 원리, 카스틸리아노 정리, 가상하중법 사이의 관계를 하나의 틀 안에서 이해할 수 있게 해주는 매우 유용한 해석 방법입니다. 한 번쯤은 직접 행렬을 구성하여 풀이해 보신다면 구조해석 이론을 보다 깊이 이해하는 데 큰 도움이 될 것입니다.