수정된 처짐각 법 - 처짐각 법 pt 4 (연산을 가볍게)

1. 개요

두 개의 회전각과 그에 대응하는 모멘트 사이의 관계식을 우리는 이미 여러 차례 도출해 보았습니다.
또한 처짐 역시 현(Chord)–회전각으로 표현하여 모멘트와 연결하는 관계식도 정립해 보았습니다.

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보 구조물 변위법의 기본 - 처짐각법 pt 1

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보 구조물 변위법의 기본 - 처짐각법 pt 2

이 과정에서 자연스럽게 등장하는 것이 바로 처짐각법(Slope–Deflection Method) 입니다.
처짐각법에서 사용되는 강성도(Stiffness) 관계식은 단순히 보 구조 해석에서 그치는 것이 아니라,

• 합성 구조물의 직렬·병렬 연결 분석,
• 다양한 하중 조건에 대한 등가 스프링 치환,
• 모멘트 분배법(Moment Distribution) 의 기본 구성 요소,

등 여러 분야에서 매우 높은 활용도를 가집니다.

여기까지의 내용을 차근차근 따라오셨다면,
아마 독자분들께서도 이제 자연스럽게 다음과 같은 감각을 얻으셨을 것입니다.

“결국 보 구조물은 두 개의 회전각으로 표현되는
2자유도 시스템.”

그러나 만약 구조물의 조건이 조금 더 명확하게 주어져,
원래는 두 개의 회전각으로 구성된 2자유도 시스템을 1자유도 시스템으로 축소할 수 있다면,
해석 속도와 정확도는 눈에 띄게 향상됩니다.

이러한 자유도 축소 개념을 바탕으로 등장하는 것이 바로
이번 포스팅에서 다룰 ‘수정된 강성도(Modified Stiffness)’ 입니다.

수정된 강성도는 단순히 처짐각법의 계산을 간단하게 만들어 주는 정도가 아니라,

• 모멘트 분배법(Moment Distribution)
• 합성 구조물의 직렬·병렬 스프링 치환
• 부정정 구조물의 빠른 내력 계산
• 등가 스프링 산정(Eq. Spring Constant)

등 다양한 응용에서 매우 강력한 도구가 됩니다.

특히 공무원·공기업 필기시험처럼
제한된 시간 안에 손계산으로 정확한 값을 도출해야 하는 환경에서는
2자유도 → 1자유도로 단순화하는 기법이
정답률을 크게 좌우한다고 생각합니다.

이러한 배경에서, 이번 포스팅에서는
수정된 강성도의 개념·유도·활용법을 차근차근 설명드리고,
어떤 상황에서 자유도 축소가 가능한지,
또 이것이 시험에서 왜 중요한지 명확하게 보여드리겠습니다.

 

2. 수정된 강성도 (Case 1 : 한쪽 끝단의 모멘트가 명확하게 0일때)

아래 그림과 같은 경우 지점 B에는 어떠한 외력도 작용하지 않는 롤러지점입니다. 따라서 명확하게 모멘트가 0 입니다.

이때 θba는 다음과 같이 서술 할 수 있습니다.

해당 결과를 Ma에 대한 처짐각 공식에 대입해보겠습니다.

따라서 A지점의 모멘트는 B지점의 회전각과 무관하며 오직 A지점의 회전각과 연관되어 있습니다.

그리고 위의 공식에도 알 수 있듯이  강성도는 3EI/L 가 됩니다.

 

[참고] 모멘트 분배법에서 불균형 모멘트를 산정하고 이것의 반대값(×-1)을 강성도비율로 나눠 갖고 반대편으로 Carry Over ×(1/2) 하는 논리적 근거가 아래의 공식을 근거로 하고 있습니다.

3. 수정된 강성도 (Case 2 : 한쪽 끝단이 고정단-롤러 일때)

Case 1은 보부재의 양 끝단에 2개의 자유도 (회전각)이 존재 하나 모멘트가 0인지점에 대해 관심을 두지 않는 방식인데 반하여

Case 2는 회전각이 한쪽에만 작용하고 고정단 롤러 쪽의 회전각은 0이되게 됩니다. 

대신 고정단-롤러의 전단력이 0이므로 보부재에 순수 모멘트만 작용하게 됩니다.

즉, 한쪽이 Ma 만큼 모멘트가 작용하면 다른쪽엔 -Ma(Ma인데 방향이 반대)만큼 작용하는 모멘트가 발생하여

전단력이 발생하지 않습니다.

전구간 모멘트가 Ma 이므로 M/EI 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.

따라서 다음과 같은 관계식이 성립합니다.

따라서 위의 관계식을 통해 다음과 같은 공식을 유도할 수 있습니다.

위의 공식에도 알 수 있듯이  강성도는 EI/L 가 됩니다.

4. 마무리하며

이번 글에서 보셨듯이, 처짐각법에서 사용하는 일반 강성도와 달리
특수한 조건—예컨대 한쪽 끝단의 모멘트가 0이거나,
한쪽 끝단이 고정·롤러로 특정 조건을 만족할 때—에서는
수정된 강성도(Modified Stiffness) 를 적용하면
연산이 놀라울 만큼 간단해집니다.

제 블로그의 여러 기출 풀이에서도 확인할 수 있듯이,
수정된 강성도는 단순히 처짐각법에서의 편의를 넘어

• 모멘트 분배법,
• 등가절점하중을 통한 처짐 산정,
• 합성 스프링의 직렬·병렬 치환,
• 부정정 구조물의 DOF 축소,

등 다양한 영역에서 광범위하게 활용됩니다.

무엇보다 이 기법은 구조물의 강성도를 직관적으로 이해하는 데 큰 도움이 됩니다.
‘어느 지점이 얼마나 강하게 회전을 저항하는가’,
‘한 자유도가 다른 자유도와 어떤 관계를 갖는가’
를 수식이 아닌 감각으로 파악할 수 있기 때문입니다.

앞으로 변위법, 모멘트 분배법, 스프링 치환을 활용하실 때
이번 글에서 다룬 수정된 강성도를 적극적으로 적용해보시기 바랍니다.
풀이 속도와 정확도가 눈에 띄게 달라질 것입니다.