2024년 7급 군무원 응용역학 5번 (적분법/ 등가면적법/ 직관적 사고법)

[응용역학] 원형 테이퍼 막대의 축변형 – 적분법, 등가단면법, 직관적 사고법 비교

아래의 예제를 통해 세 가지 접근법(적분법, 등가단면법, 직관적 사고법)을 비교해보겠습니다.

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문제

지름이 $2d$에서 $d$로 선형적으로 변하는 원형 단면 부재(길이 $L$)에
축방향 하중 $4P$가 작용할 때,
전체 축방향 변위는 얼마인가?
(단, 탄성계수 $E$는 일정하다.)

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1. 적분법

가장 기본적인 접근법은 변위의 정의식부터 출발한다.
$$
\delta = \int_0^L \frac{N(x)}{E A(x)} dx
$$
이때 축력 $N(x)$는 일정하므로 $N(x) = 4P$이다.
지름이 선형적으로 변하므로
$$
D(x) = d\left(1 + \frac{x}{L}\right)
$$
따라서 단면적은
$$
A(x) = \frac{\pi}{4} D(x)^2 = \frac{\pi d^2}{4}\left(1 + \frac{x}{L}\right)^2
$$
이를 식에 대입하면
$$
\delta = \int_0^L \frac{4P}{E \cdot \frac{\pi d^2}{4} (1 + \frac{x}{L})^2} dx
= \frac{16P}{\pi d^2 E} \int_0^L \frac{dx}{(1 + \frac{x}{L})^2}
$$
치환 $u = 1 + \frac{x}{L}$, $du = dx/L$을 적용하면
$$
\delta = \frac{16PL}{\pi d^2 E} \int_1^2 u^{-2} du
= \frac{16PL}{\pi d^2 E}\left(1 - \frac{1}{2}\right)
= \frac{8PL}{\pi d^2 E}
$$
정답
$$
\delta = \frac{8PL}{\pi d^2 E}
$$
적분법은 원리를 그대로 적용한 방법으로 가장 정확하지만, 계산량이 많아 시간이 오래 걸린다.

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2. 등가단면법

테이퍼진 단면을 일정한 단면으로 바꾸어 계산하는 방법이다.
즉, 실제 단면 대신 동일한 변형을 주는 가상의 일정 단면적 $A_{eq}$를 도입한다.
정의식은 다음과 같다.
$$
\frac{1}{A_{eq}} = \frac{1}{L} \int_0^L \frac{dx}{A(x)}
$$
지름이 선형적으로 변할 경우 이 적분 결과는 다음과 같이 단순화된다.
$$
A_{eq} = \frac{\pi}{4} d_1 d_2
$$
이는 두 단의 지름을 곱한 값의 기하평균 단면적을 의미한다.
따라서 변위는
$$
\delta = \frac{N L}{E A_{eq}} = \frac{4P L}{E \cdot \frac{\pi}{4} d_1 d_2}
= \frac{8PL}{\pi d^2 E}
$$
결과적으로 적분법과 완전히 동일한 값을 얻을 수 있다.
단 한 줄로 정답을 도출할 수 있어 실전에서 가장 효율적이다.

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3. 직관적 사고법

적분을 수행하지 않고, 극단적인 두 경우를 비교하여 변형의 대략적 크기를 추정하는 방법이다.
단면이 전부 $2d$일 때
$$
\delta_{2d} = \frac{4PL}{(\pi /4)(2d)^2 E} = \frac{4PL}{\pi d^2 E}
$$
단면이 전부 $d$일 때
$$
\delta_d = \frac{16PL}{\pi d^2 E} = 4\delta_{2d}
$$
따라서 실제 변형은 다음 범위 안에 존재한다.
$$
\frac{4PL}{\pi d^2 E} < \delta < \frac{16PL}{\pi d^2 E}
$$
단면이 작은 쪽에서 변형이 집중되므로,
단순한 평균(약 10)보다 작은 쪽(즉, 큰 변형 쪽)에 더 가깝게 위치한다.
4와 16 사이에서 약 1:2 비율로 내분된 값, 즉 8 정도가 가장 합리적이다.
결과적으로 직관적인 판단만으로도 정답 8에 근접한 값을 예상할 수 있다.

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